A pergunta explícita: encontrar a solução no sentido dos mínimos quadrados do sistema A\vec{x}=\vec{b} e, em particular, indicar o valor de x_{1}, a primeira entrada da solução \vec{x}.]
Passo 2
O que significa “solução no sentido dos mínimos quadrados”? Vou explicar de forma direta: quando o sistema é sobredeterminado (mais equações que incógnitas, como aqui: 4\times3), pode não existir \vec{x} tal que A\vec{x}=\vec{b}. Então procuramos \vec{x} que minimize a distância (erro) entre A\vec{x} e \vec{b}, isto é, que minimize a função
f(\vec{x})=\|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}.
Uma maneira padrão e eficiente de achar esse minimizador é escrever as equações normais (normal equations):
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Breve justificativa: expandindo f(\vec{x})=(A\vec{x}-\vec{b})^{T}(A\vec{x}-\vec{b}) e derivando em relação a \vec{x} (ou fazendo projeção ortogonal), obtemos 2A^{T}(A\vec{x}-\vec{b})=0, que dá as equações acima. Então vamos formar A^{T}A e A^{T}\vec{b} e resolver.
Passo 3
Vou extrair as colunas de A para facilitar cálculos por produto interno. As colunas são
Lembremo-nos de que (A^{T}A)_{ij}=a_{i}\cdot a_{j} (produto interno) e (A^{T}\vec{b})_{i}=a_{i}\cdot\vec{b}. Vou calcular cada produto interno passo a passo.]
Da segunda equação temos x_{1}=-2x_{2}\]. Substituindo na primeira:
\[-2x_{2}+x_{2}+x_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad -x_{2}+x_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=x_{2}.\]
Substituindo \(x_{1}=-2x_{2} e x_{3}=x_{2} na terceira equação: