Q17: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -1 & 1 \\\\ -1 & -2 & -4 & -7 \\\\ 2 & 1 & 4 & -2 \\\\ -1 & -3 & 4 & 4 \end{array}\right]
Assinale o valor de x_{1}, a 1^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear sob a forma da matriz aumentada
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -1 & 1 \\\\ -1 & -2 & -4 & -7 \\\\ 2 & 1 & 4 & -2 \\\\ -1 & -3 & 4 & 4 \end{array}\right]
ou seja, a matriz A e o vetor \vec{b} são
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\[4pt] -1 & -2 & -4\\[4pt] 2 & 1 & 4\\[4pt] -1 & -3 & 4 \end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-7\\[4pt]-2\\[4pt]4\end{pmatrix}.
A pergunta explícita: encontrar a solução no sentido dos mínimos quadrados do sistema A\vec{x}=\vec{b} e, em particular, indicar o valor de x_{1}, a primeira entrada da solução \vec{x}.]

Passo 2

O que significa “solução no sentido dos mínimos quadrados”? Vou explicar de forma direta: quando o sistema é sobredeterminado (mais equações que incógnitas, como aqui: 4\times3), pode não existir \vec{x} tal que A\vec{x}=\vec{b}. Então procuramos \vec{x} que minimize a distância (erro) entre A\vec{x} e \vec{b}, isto é, que minimize a função
f(\vec{x})=\|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}.
Uma maneira padrão e eficiente de achar esse minimizador é escrever as equações normais (normal equations):
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Breve justificativa: expandindo f(\vec{x})=(A\vec{x}-\vec{b})^{T}(A\vec{x}-\vec{b}) e derivando em relação a \vec{x} (ou fazendo projeção ortogonal), obtemos 2A^{T}(A\vec{x}-\vec{b})=0, que dá as equações acima. Então vamos formar A^{T}A e A^{T}\vec{b} e resolver.

Passo 3

Vou extrair as colunas de A para facilitar cálculos por produto interno. As colunas são
a_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]2\\[4pt]-1\end{pmatrix},\qquad a_{2}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-2\\[4pt]1\\[4pt]-3\end{pmatrix},\qquad a_{3}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-4\\[4pt]4\\[4pt]4\end{pmatrix}.
Lembremo-nos de que (A^{T}A)_{ij}=a_{i}\cdot a_{j} (produto interno) e (A^{T}\vec{b})_{i}=a_{i}\cdot\vec{b}. Vou calcular cada produto interno passo a passo.]

Passo 4

Calculemos A^{T}A por entradas:
  • (A^{T}A)_{11}=a_{1}\cdot a_{1}=1^{2}+(-1)^{2}+2^{2}+(-1)^{2}=1+1+4+1=7.
  • (A^{T}A)_{12}=a_{1}\cdot a_{2}=1\cdot0+(-1)\cdot(-2)+2\cdot1+(-1)\cdot(-3)=0+2+2+3=7.
  • (A^{T}A)_{13}=a_{1}\cdot a_{3}=1\cdot(-1)+(-1)\cdot(-4)+2\cdot4+(-1)\cdot4=-1+4+8-4=7.
  • (A^{T}A)_{22}=a_{2}\cdot a_{2}=0^{2}+(-2)^{2}+1^{2}+(-3)^{2}=0+4+1+9=14.
  • (A^{T}A)_{23}=a_{2}\cdot a_{3}=0\cdot(-1)+(-2)\cdot(-4)+1\cdot4+(-3)\cdot4=0+8+4-12=0.
  • (A^{T}A)_{33}=a_{3}\cdot a_{3}=(-1)^{2}+(-4)^{2}+4^{2}+4^{2}=1+16+16+16=49.
Como A^{T}A é simétrica, preenchemos a matriz completa:
A^{T}A=\begin{pmatrix} 7 & 7 & 7\\[4pt] 7 & 14 & 0\\[4pt] 7 & 0 & 49 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora calculemos A^{T}\vec{b}. Lembre que \vec{b}=(1,-7,-2,4)^{T}.
  • (A^{T}\vec{b})_{1}=a_{1}\cdot\vec{b}=1\cdot1+(-1)\cdot(-7)+2\cdot(-2)+(-1)\cdot4=1+7-4-4=0.
  • (A^{T}\vec{b})_{2}=a_{2}\cdot\vec{b}=0\cdot1+(-2)\cdot(-7)+1\cdot(-2)+(-3)\cdot4=0+14-2-12=0.
  • (A^{T}\vec{b})_{3}=a_{3}\cdot\vec{b}=(-1)\cdot1+(-4)\cdot(-7)+4\cdot(-2)+4\cdot4=-1+28-8+16=35.
Portanto
A^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]35\end{pmatrix}.]

Passo 6

Resolvendo as equações normais [(A{T}A)\vec{x}=A{T}\vec{b}). Escrevendo as equações (dividindo cada linha por 7 para simplificar):
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}=0,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}=0,\\[4pt] x_{1}+7x_{3}=5. \end{cases}
Da segunda equação temos x_{1}=-2x_{2}\]. Substituindo na primeira: \[-2x_{2}+x_{2}+x_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad -x_{2}+x_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=x_{2}.\] Substituindo \(x_{1}=-2x_{2} e x_{3}=x_{2} na terceira equação:
-2x_{2}+7x_{2}=5 \quad\Rightarrow\quad 5x_{2}=5 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=1.
Logo x_{3}=1 e x_{1}=-2x_{2}=-2.]

Resposta

(C) -2

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