Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(3,4) e \vec{v}= (-3,-2). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(2,-1) e [\vec{v}]_{\beta}=(-4,-1), então \vec{b}_{1} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -5\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -4\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -3\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -2\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 0\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 1\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A base \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} de \mathbb{R}^{2}.
  • \vec{u}=(3,4) e \vec{v}=(-3,-2).
  • As coordenadas desses vetores na base \beta são [\vec{u}]_{\beta}=(2,-1),\qquad [\vec{v}]_{\beta}=(-4,-1).
O que o exercício pede: identificar qual alternativa (A)–(H) corresponde a \vec{b}_{1} (cada alternativa dá apenas a segunda componente de \vec{b}_{1}, o primeiro componente é um asterisco).

Passo 2

Entendendo o significado das coordenadas na base: se [\vec{x}]_{\beta}=(\alpha,\beta) isso significa que
\vec{x}=\alpha\,\vec{b}_{1}+\beta\,\vec{b}_{2}.
Aplicando essa regra aos dados do enunciado obtemos duas equações vetoriais em \mathbb{R}^{2}:
\vec{u}=2\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2}, \qquad \vec{v}=-4\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2}.
Estas são duas equações vetoriais (cada uma corresponde a duas equações escalares, uma para cada componente), que permitem determinar \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2}.

Passo 3

Isolar \vec{b}_{2} a partir da primeira equação é uma boa estratégia para eliminar \vec{b}_{2}. Da primeira equação:
\vec{u}=2\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2} \quad\Longrightarrow\quad \vec{b}_{2}=2\vec{b}_{1}-\vec{u}.
Esta é apenas álgebra vetorial comum: somar \vec{b}_{2} em ambos os lados e depois subtrair \vec{u}.

Passo 4

Substituir essa expressão de \vec{b}_{2} na segunda equação para eliminar \vec{b}_{2}:
\vec{v}=-4\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2} = -4\vec{b}_{1}-\bigl(2\vec{b}_{1}-\vec{u}\bigr).
Agora simplificar o lado direito, agrupando os termos em \vec{b}_{1}:
\vec{v} = -4\vec{b}_{1}-2\vec{b}_{1}+\vec{u} = -6\vec{b}_{1}+\vec{u}.
Rearranjando para isolar \vec{b}_{1}:
-6\vec{b}_{1}=\vec{v}-\vec{u} \quad\Longrightarrow\quad \vec{b}_{1}=-\tfrac{1}{6}(\vec{v}-\vec{u})=\tfrac{1}{6}(\vec{u}-\vec{v}).
Expliquei cada passo: substituição, agrupamento de termos semelhantes e divisão escalar por -6.

Passo 5

Calcular \vec{u}-\vec{v} com os vetores fornecidos:
\vec{u}-\vec{v}=(3,4)-(-3,-2)=(3+3,\,4+2)=(6,6).
Agora aplicar o fator \tfrac{1}{6}:
\vec{b}_{1}=\tfrac{1}{6}(6,6)=(1,1).
Isso dá diretamente as componentes de \vec{b}_{1}.

Passo 6

Checagem rápida (para ficar tranquilo): calcular \vec{b}_{2} e verificar se as coordenadas batem.
\vec{b}_{2}=2\vec{b}_{1}-\vec{u}=2(1,1)-(3,4)=(2,2)-(3,4)=(-1,-2).
Verificar \vec{v}:
-4\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2}=-4(1,1)-(-1,-2)=(-4,-4)+(1,2)=(-3,-2)=\vec{v},
concorda com o dado do enunciado. Tudo consistente.

Resposta

(G) \left[\begin{array}{r}1 \\\\ 1\end{array}\right]

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