Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(3,4) e \vec{v}= (-3,-2). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(2,-1) e [\vec{v}]_{\beta}=(-4,-1), então \vec{b}_{1} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -5\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -4\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -3\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -2\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 0\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 1\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
A base \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} de \mathbb{R}^{2}.
\vec{u}=(3,4) e \vec{v}=(-3,-2).
As coordenadas desses vetores na base \beta são[\vec{u}]_{\beta}=(2,-1),\qquad [\vec{v}]_{\beta}=(-4,-1).
O que o exercício pede: identificar qual alternativa (A)–(H) corresponde a \vec{b}_{1} (cada alternativa dá apenas a segunda componente de \vec{b}_{1}, o primeiro componente é um asterisco).
Passo 2
Entendendo o significado das coordenadas na base: se [\vec{x}]_{\beta}=(\alpha,\beta) isso significa que
\vec{x}=\alpha\,\vec{b}_{1}+\beta\,\vec{b}_{2}.
Aplicando essa regra aos dados do enunciado obtemos duas equações vetoriais em \mathbb{R}^{2}:
Estas são duas equações vetoriais (cada uma corresponde a duas equações escalares, uma para cada componente), que permitem determinar \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2}.
Passo 3
Isolar \vec{b}_{2} a partir da primeira equação é uma boa estratégia para eliminar \vec{b}_{2}. Da primeira equação: