Identificar a matriz A (de dimensão 4\times3) e o vetor \vec{b} (de dimensão 4\times1) a partir da matriz aumentada.
Encontrar a solução em mínimos quadrados \vec{x}=(x_1,x_2,x_3)^T que minimiza \|A\vec{x}-\vec{b}\|_2.
Assinalar o valor de x_{3}, a terceira entrada da solução \vec{x}, entre as alternativas dadas.
Informações relevantes dadas:
As linhas do sistema (peguei esses números da matriz aumentada) são:
Linha 1: -1x_1 -1x_2 -5x_3 = 3.
Linha 2: -2x_1 +3x_2 +1x_3 = 7.
Linha 3: 2x_1 -4x_2 +2x_3 = -15.
Linha 4: 2x_1 +0x_2 +3x_3 = -9.
Passo 2
O método dos mínimos quadrados (rápida aula): quando o sistema A\vec{x}=\vec{b} é sobre-determinado (A com mais linhas do que colunas, aqui 4\times3), geralmente não existe \vec{x} que satisfaça exatamente todas as equações. Procuramos \vec{x} que minimize o erro quadrático
\varphi(\vec{x})=\|A\vec{x}-\vec{b}\|_2^2.
A condição de mínimo (derivada/gradiente nulo) leva às equações normais
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Essas são equações lineares 3\times3 que podemos resolver. Portanto, a nossa tarefa prática é:
Extrair A e \vec{b}.
Calcular A^{T}A e A^{T}\vec{b}.
Resolver A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b} para obter \vec{x}.
Vou fazer isso passo a passo, sem pular contas.
Passo 3
Extrair A e \vec{b} da matriz aumentada (peguei esses números da matriz aumentada):