Q17: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & -1 & -5 & 3 \\\\ -2 & 3 & 1 & 7 \\\\ 2 & -4 & 2 & -15 \\\\ 2 & 0 & 3 & -9 \end{array}\right] .
Assinale o valor de x_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada da soluçāo \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A\vec{x}=\vec{b} dado pela matriz aumentada
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & -1 & -5 & 3 \\\\ -2 & 3 & 1 & 7 \\\\ 2 & -4 & 2 & -15 \\\\ 2 & 0 & 3 & -9 \end{array}\right].
As perguntas claras são:
  • Identificar a matriz A (de dimensão 4\times3) e o vetor \vec{b} (de dimensão 4\times1) a partir da matriz aumentada.
  • Encontrar a solução em mínimos quadrados \vec{x}=(x_1,x_2,x_3)^T que minimiza \|A\vec{x}-\vec{b}\|_2.
  • Assinalar o valor de x_{3}, a terceira entrada da solução \vec{x}, entre as alternativas dadas.
Informações relevantes dadas:
  • As linhas do sistema (peguei esses números da matriz aumentada) são:
    • Linha 1: -1x_1 -1x_2 -5x_3 = 3.
    • Linha 2: -2x_1 +3x_2 +1x_3 = 7.
    • Linha 3: 2x_1 -4x_2 +2x_3 = -15.
    • Linha 4: 2x_1 +0x_2 +3x_3 = -9.

Passo 2

O método dos mínimos quadrados (rápida aula): quando o sistema A\vec{x}=\vec{b} é sobre-determinado ( A com mais linhas do que colunas, aqui 4\times3), geralmente não existe \vec{x} que satisfaça exatamente todas as equações. Procuramos \vec{x} que minimize o erro quadrático
\varphi(\vec{x})=\|A\vec{x}-\vec{b}\|_2^2.
A condição de mínimo (derivada/gradiente nulo) leva às equações normais
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Essas são equações lineares 3\times3 que podemos resolver. Portanto, a nossa tarefa prática é:
  1. Extrair A e \vec{b}.
  2. Calcular A^{T}A e A^{T}\vec{b}.
  3. Resolver A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b} para obter \vec{x}.
    Vou fazer isso passo a passo, sem pular contas.

Passo 3

Extrair A e \vec{b} da matriz aumentada (peguei esses números da matriz aumentada):
A=\begin{pmatrix} -1 & -1 & -5 \\\\ -2 & 3 & 1 \\\\ 2 & -4 & 2 \\\\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}3\\\ 7\\\ -15\\\ -9\end{pmatrix}.
Vou também anotar as colunas de A (isso facilita produto interno):
\vec{c}_1=\begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix},\quad \vec{c}_2=\begin{pmatrix}-1\\\ 3\\\ -4\\\ 0\end{pmatrix},\quad \vec{c}_3=\begin{pmatrix}-5\\\ 1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular A^{T}A usando produtos internos das colunas: a entrada (i,j) de A^{T}A é \vec{c}_i\cdot\vec{c}_j.
Cálculo detalhado dos produtos:
  • \vec{c}_1\cdot\vec{c}_1 = (-1)^2+(-2)^2+2^2+2^2 = 1+4+4+4 = 13.
  • \vec{c}_1\cdot\vec{c}_2 = (-1)(-1)+(-2)(3)+2(-4)+2(0) = 1-6-8+0 = -13.
  • \vec{c}_1\cdot\vec{c}_3 = (-1)(-5)+(-2)(1)+2(2)+2(3) = 5-2+4+6 = 13.
  • \vec{c}_2\cdot\vec{c}_2 = (-1)^2+3^2+(-4)^2+0^2 = 1+9+16+0 = 26.
  • \vec{c}_2\cdot\vec{c}_3 = (-1)(-5)+3(1)+(-4)(2)+0(3) = 5+3-8+0 = 0.
  • \vec{c}_3\cdot\vec{c}_3 = (-5)^2+1^2+2^2+3^2 = 25+1+4+9 = 39.
Portanto
A^{T}A=\begin{pmatrix} 13 & -13 & 13\\\\ -13 & 26 & 0\\\\ 13 & 0 & 39 \end{pmatrix}.

Passo 5

Calcular A^{T}\vec{b} usando produtos internos coluna por \vec{b} (peguei \vec{b} da matriz aumentada):
  • \vec{c}_1\cdot\vec{b}=(-1)\cdot3+(-2)\cdot7+2\cdot(-15)+2\cdot(-9) = -3-14-30-18 = -65.
  • \vec{c}_2\cdot\vec{b}=(-1)\cdot3+3\cdot7+(-4)\cdot(-15)+0\cdot(-9) = -3+21+60+0 = 78.
  • \vec{c}_3\cdot\vec{b}=(-5)\cdot3+1\cdot7+2\cdot(-15)+3\cdot(-9) = -15+7-30-27 = -65.
Portanto
A^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix}-65\\\ 78\\\ -65\end{pmatrix}.

Passo 6

Escrever as equações normais completas:
\begin{pmatrix} 13 & -13 & 13\\\\ -13 & 26 & 0\\\\ 13 & 0 & 39 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-65\\\ 78\\\ -65\end{pmatrix}.
Vou simplificar cada equação dividindo por 13 quando possível (isso facilita contas sem perder exatidão).
Dividindo linha 1 por 13:
x_1 - x_2 + x_3 = -5. \tag{E1}
Dividindo linha 2 por 13:
- x_1 + 2x_2 = 6. \tag{E2}
Dividindo linha 3 por 13:
x_1 + 3x_3 = -5. \tag{E3}

Passo 7

Resolver o sistema simplificado (E1), (E2), (E3). Vou usar substituições bem claras.
Da equação (E2):
- x_1 + 2x_2 = 6 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 2x_2 - 6. \tag{S1}
Da equação (E3):
x_1 + 3x_3 = -5 \quad\Rightarrow\quad x_1 = -5 - 3x_3. \tag{S2}
Igualando as duas expressões para x_1 (S1) e (S2):
2x_2 - 6 = -5 - 3x_3 \quad\Rightarrow\quad 2x_2 = 1 - 3x_3 \quad\Rightarrow\quad x_2 = \frac{1-3x_3}{2}. \tag{S3}
Agora uso (E1): x_1 - x_2 + x_3 = -5. Substituo x_1 por (S2) e x_2 por (S3):
(-5 - 3x_3) - \frac{1-3x_3}{2} + x_3 = -5.
Multiplico tudo por 2 para eliminar o denominador:
2(-5 - 3x_3) - (1-3x_3) + 2x_3 = -10.
Calculo passo a passo:
-10 - 6x_3 -1 + 3x_3 + 2x_3 = -10.
Somando os termos em x_3:
-11 - x_3 = -10.
Isolando x_3:
- x_3 = 1 \quad\Rightarrow\quad x_3 = -1.

Passo 8

Conferência rápida (opcional mas bom para prova): com x_3=-1 podemos achar x_2 por (S3):
x_2 = \frac{1-3(-1)}{2} = \frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2.
E x_1 por (S2):
x_1 = -5 - 3(-1) = -5 +3 = -2.
Assim a solução em mínimos quadrados é \vec{x}=(-2,\,2,\,-1)^T. Mas o que a questão pede é apenas x_3.

Resposta

(D) -1

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