Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3}.
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(-1,1,2),(-3,2,6)\} \in \\\ M=\operatorname{span}\{(2,0,1)\} \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(-2, x_{2}, x_{3}\right) . O valor de x_{3} \dot{e}:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Nos deram dois subespaços de \mathbb{R}^3:
    • H=\operatorname{span}\{(-1,1,2),(-3,2,6)\}.
    • M=\operatorname{span}\{(2,0,1)\}.
  • O enunciado pede: encontrar o (único) vetor \vec{x}\in M^{\perp}\cap H que tenha a forma \vec{x}=(-2,x_2,x_3).
  • A pergunta final é: qual o valor de x_3? (fornecem opções numéricas).

Passo 2

Entender o que significa M^{\perp} e como obter condições sobre \vec{x}.
  • Definição prática: M^{\perp} é o conjunto de todos os vetores em \mathbb{R}^3 que são ortogonais a todo vetor de M. Como M é gerado pelo vetor (2,0,1), basta exigir ortogonalidade a esse vetor gerador.
  • Ortogonalidade usa o produto escalar: dois vetores u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3) são ortogonais se u\cdot v = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3 = 0.
Aplicando isso: se \vec{x}=(x_1,x_2,x_3)\in M^{\perp} então
(2,0,1)\cdot(x_1,x_2,x_3)=2x_1+0\cdot x_2 + x_3 = 0.
Portanto a condição para \vec{x}\in M^{\perp} é
2x_1 + x_3 = 0.
Como estamos procurando \vec{x}=(-2,x_2,x_3), substituímos x_1=-2 nessa condição:
2\cdot(-2) + x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad -4 + x_3 = 0.
Logo
x_3 = 4.
Neste ponto já temos um valor obrigatório para x_3 imposto por M^{\perp}.

Passo 3

Verificar compatibilidade com H (ou seja, mostrar que existe vetor em H com essas coordenadas, para garantir que realmente pertence a M^{\perp}\cap H) e entender a unicidade do valor de x_3.
  • Significado de H=\operatorname{span}\{(-1,1,2),(-3,2,6)\}: todo vetor de H é da forma
\vec{v}=a(-1,1,2)+b(-3,2,6),
para certos escalares a,b\in\mathbb{R}.
  • Escrevendo as componentes de \vec{v}:
    • primeira componente: -a-3b.
    • segunda componente: a+2b.
    • terceira componente: 2a+6b.
Se queremos \vec{v}=(-2,x_2,x_3) estar em H, devemos ter
-a-3b = -2,\qquad a+2b = x_2,\qquad 2a+6b = x_3.
Da primeira equação obtemos
a+3b = 2.
Usando isso na terceira equação:
x_3 = 2a+6b = 2(a+3b) = 2\cdot 2 = 4.
Portanto a condição de estar em H também força x_3=4 quando a primeira componente é -2. Ou seja, tanto a condição de ortogonalidade a (2,0,1) quanto a condição de pertencer a H levam ao mesmo valor x_3=4.
Observação sobre x_2: a segunda componente x_2 fica livre (há infinitas escolhas de a,b que satisfazem a+3b=2 e então produzem diferentes x_2). Isso explica por que não existe um único vetor com a forma completa (-2,x_2,x_3) (com x_2 fixo): o que é único é o valor de x_3. O enunciado pede exatamente o valor de x_3, que é bem determinado.

Passo 4

Resumo final e verificação curta:
  • A condição \vec{x}\in M^{\perp} 2x_1+x_3=0. Com x_1=-2 segue x_3=4.
  • A condição \vec{x}\in H (representando \vec{x} como combinação linear dos geradores) também leva a x_3=2(a+3b) e, impondo a primeira componente -2 (ou seja a+3b=2), novamente dá x_3=4.
  • Ambos os caminhos concordam: x_3=4. Isso está entre as alternativas fornecidas.

Resposta

4

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