Q18: Considere os subespaços de
.
Encontre o único vetor
da forma
valor de
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Nos deram dois subespaços de
: -
. -
.
-
- O enunciado pede: encontrar o (único) vetor
que tenha a forma . - A pergunta final é: qual o valor de
? (fornecem opções numéricas).
Passo 2
Entender o que significa
e como obter condições sobre
.
- Definição prática:
é o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a todo vetor de . Como é gerado pelo vetor , basta exigir ortogonalidade a esse vetor gerador. - Ortogonalidade usa o produto escalar: dois vetores
e são ortogonais se .
Aplicando isso: se
então
Portanto a condição para
é
Como estamos procurando
, substituímos
nessa condição:
Logo
Neste ponto já temos um valor obrigatório para
imposto por
.
Passo 3
Verificar compatibilidade com
(ou seja, mostrar que existe vetor em
com essas coordenadas, para garantir que realmente pertence a
) e entender a unicidade do valor de
.
- Significado de
: todo vetor de é da forma
para certos escalares
.
- Escrevendo as componentes de
: - primeira componente:
. - segunda componente:
. - terceira componente:
.
- primeira componente:
Se queremos
estar em
, devemos ter
Da primeira equação obtemos
Usando isso na terceira equação:
Portanto a condição de estar em
também força
quando a primeira componente é
. Ou seja, tanto a condição de ortogonalidade a
quanto a condição de pertencer a
levam ao mesmo valor
.
Observação sobre
: a segunda componente
fica livre (há infinitas escolhas de
que satisfazem
e então produzem diferentes
). Isso explica por que não existe um único vetor com a forma completa
(com
fixo): o que é único é o valor de
. O enunciado pede exatamente o valor de
, que é bem determinado.
Passo 4
Resumo final e verificação curta:
- A condição
dá . Com segue . - A condição
(representando como combinação linear dos geradores) também leva a e, impondo a primeira componente (ou seja ), novamente dá . - Ambos os caminhos concordam:
. Isso está entre as alternativas fornecidas.
Resposta
4