Sejam \beta_{1}=\{(1,0),(0,2)\}, \beta_{2}=\{(-1,0),(1,1)\} e \beta_{3}=\{(-1,-1),(0,-1)\} três bases ordenadas de \mathbf{R}^{2}.
a) Ache
i) [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}}
ii) [I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}}
iii) [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{3}}
iv) [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}} \cdot[I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}}
b) Se for possível, dê uma relação entre estas matrizes de mudança de base.

Passo 1

O enunciado dá três bases ordenadas de \mathbf{R}^{2}:
\beta_{1}=\{(1,0),(0,2)\},\qquad \beta_{2}=\{(-1,0),(1,1)\},\qquad \beta_{3}=\{(-1,-1),(0,-1)\}.
As perguntas são:
  • (a) Calcular
    i) [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}},
    ii) [I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}},
    iii) [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{3}},
    iv) [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}}\cdot[I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}}.
  • (b) Se possível, dar uma relação entre essas matrizes de mudança de base.
Informações relevantes a usar: cada matriz de mudança de base [I]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}} é a matriz que transforma coordenadas de um vetor escritas na base \mathcal{A} para coordenadas desse mesmo vetor escritas na base \mathcal{B}. As colunas de [I]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}} são as coordenadas, em \mathcal{B}, dos vetores da base \mathcal{A}.

Passo 2

Entendendo a ideia e o método (aula rápida e prática).
  • Definição operacional: para qualquer vetor v vale [v]_{\mathcal{B}} = [I]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}}\,[v]_{\mathcal{A}}.Assim, a coluna j de [I]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}} é exatamente as coordenadas do j-ésimo vetor de \mathcal{A} escritas na base \mathcal{B}.
  • Como calcular uma coluna: para um vetor u da base \mathcal{A} escreve-se u = a\cdot b_1 + b\cdot b_2onde b_1,b_2 são os vetores da base \mathcal{B}. Resolve-se o sistema para a,b; o par (a,b) é a coluna correspondente.
  • Vou aplicar isto para cada vetor das bases dadas, resolver sistemas 2×2 simples e assim montar cada matriz.

Passo 3

Precisamos expressar os vetores de \beta_{1} em coordenadas da base \beta_{2}.
  1. Para o primeiro vetor de \beta_{1}, (1,0), procuro a,b tais que
(1,0)=a\cdot(-1,0)+b\cdot(1,1).
Escrevendo coordenada a coordenada:
- a + b = 1,\qquad b = 0.
Da segunda equação b=0. Substituindo na primeira: -a =1 então a=-1.
Logo as coordenadas de (1,0) em \beta_{2} são (-1,0)^{T}.
  1. Para o segundo vetor de \beta_{1}, (0,2), procuro a,b tais que
(0,2)=a\cdot(-1,0)+b\cdot(1,1).
Coordenadas:
- a + b = 0,\qquad b = 2.
Da segunda equação b=2. Substituindo: -a + 2 =0 então a=2.
Portanto as coordenadas de (0,2) em \beta_{2} são (2,2)^{T}.
Colocando as colunas (primeira coluna para (1,0), segunda para (0,2)):
[I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}} = \begin{pmatrix} -1 & 2\\[4pt] 0 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Expressar os vetores de \beta_{2} em coordenadas da base \beta_{3}.
  1. Para (-1,0) quero a,b com
(-1,0)=a\cdot(-1,-1)+b\cdot(0,-1).
Isso dá as equações
- a = -1,\qquad -a - b = 0.
Da primeira a=1. Da segunda -1 - b = 0 logo b=-1.
Coordenadas: (1,-1)^{T}.
  1. Para (1,1) quero a,b com
(1,1)=a\cdot(-1,-1)+b\cdot(0,-1).
Equações:
- a = 1,\qquad -a - b = 1.
Da primeira a=-1. Da segunda 1 - b =1 então b=0.
Coordenadas: (-1,0)^{T}.
Colunas montadas:
[I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}} = \begin{pmatrix} 1 & -1\\[4pt] -1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Expressar vetores de \beta_{1} em coordenadas da base \beta_{3}.
  1. Para (1,0) procuro a,b tais que
(1,0)=a\cdot(-1,-1)+b\cdot(0,-1).
Equações:
- a = 1,\qquad -a - b = 0.
Da primeira a=-1. Da segunda 1 - b = 0 então b=1.
Coordenadas: (-1,1)^{T}.
  1. Para (0,2) procuro a,b tais que
(0,2)=a\cdot(-1,-1)+b\cdot(0,-1).
Equações:
- a = 0,\qquad -a - b = 2.
Da primeira a=0. Da segunda 0 - b = 2 então b=-2.
Coordenadas: (0,-2)^{T}.
Logo
[I]_{\beta_{1}}^{\beta_{3}} = \begin{pmatrix} -1 & 0\\[4pt] 1 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Usando as matrizes obtidas:
[I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}} = \begin{pmatrix} -1 & 2\\[4pt] 0 & 2 \end{pmatrix},\qquad [I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}} = \begin{pmatrix} 1 & -1\\[4pt] -1 & 0 \end{pmatrix}.
Multiplicando na ordem pedida (primeiro a da esquerda vezes a da direita):
\begin{pmatrix} -1 & 2\\[4pt] 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1\\[4pt] -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)\cdot1 + 2\cdot(-1) & (-1)\cdot(-1) + 2\cdot0\\[6pt] 0\cdot1 + 2\cdot(-1) & 0\cdot(-1) + 2\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 1\\[4pt] -2 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 7

  • Regra geral de composição: para bases \mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C} vale [I]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{C}} = [I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}\,[I]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}}.Em palavras: primeiro converte coordenadas de \mathcal{A} para \mathcal{B}, depois de \mathcal{B} para \mathcal{C}; na multiplicação matricial a ordem é da direita para a esquerda.
  • Aplicando aqui: temos [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{3}} = [I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}}\,[I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}}.Note que isso é diferente de [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}}\,[I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}} (a multiplicação na ordem contrária dá a matriz que calculámos no Passo 6, que não coincide com [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{3}}).
  • Relação de inversos: também vale para quaisquer i,j [I]_{\beta_{j}}^{\beta_{i}} = \bigl([I]_{\beta_{i}}^{\beta_{j}}\bigr)^{-1},porque mudar de \beta_{i} para \beta_{j} e voltar deve dar a identidade.

Resposta

[I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\[4pt] 0 & 2 \end{pmatrix}
[I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\[4pt] -1 & 0 \end{pmatrix}
[I]_{\beta_{1}}^{\beta_{3}} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\[4pt] 1 & -2 \end{pmatrix}
[I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}}\cdot[I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}} = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\[4pt] -2 & 0 \end{pmatrix}
Relação: [I]_{\beta_{1}}^{\beta_{3}} = [I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}}\,[I]_{\beta_{1}}^{\beta_{2}} e [I]_{\beta_{j}}^{\beta_{i}} = ([I]_{\beta_{i}}^{\beta_{j}})^{-1}.]

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