Sejam
e
três bases ordenadas de
.
a) Ache
i)
ii)
iii)
iv)
b) Se for possível, dê uma relação entre estas matrizes de mudança de base.
a) Ache
i)
ii)
iii)
iv)
b) Se for possível, dê uma relação entre estas matrizes de mudança de base.
Passo 1
O enunciado dá três bases ordenadas de
:
As perguntas são:
- (a) Calcular
i),
ii),
iii),
iv). - (b) Se possível, dar uma relação entre essas matrizes de mudança de base.
Informações relevantes a usar: cada matriz de mudança de base
é a matriz que transforma coordenadas de um vetor escritas na base
para coordenadas desse mesmo vetor escritas na base
. As colunas de
são as coordenadas, em
, dos vetores da base
.
Passo 2
Entendendo a ideia e o método (aula rápida e prática).
- Definição operacional: para qualquer vetor
vale Assim, a coluna de é exatamente as coordenadas do -ésimo vetor de escritas na base . - Como calcular uma coluna: para um vetor
da base escreve-se onde são os vetores da base . Resolve-se o sistema para ; o par é a coluna correspondente. - Vou aplicar isto para cada vetor das bases dadas, resolver sistemas 2×2 simples e assim montar cada matriz.
Passo 3
Precisamos expressar os vetores de
em coordenadas da base
.
- Para o primeiro vetor de
, , procuro tais que
Escrevendo coordenada a coordenada:
Da segunda equação
. Substituindo na primeira:
então
.
Logo as coordenadas de em
são
.
Logo as coordenadas de
- Para o segundo vetor de
, , procuro tais que
Coordenadas:
Da segunda equação
. Substituindo:
então
.
Portanto as coordenadas de em
são
.
Portanto as coordenadas de
Colocando as colunas (primeira coluna para
, segunda para
):
Passo 4
Expressar os vetores de
em coordenadas da base
.
- Para
quero com
Isso dá as equações
Da primeira
. Da segunda
logo
.
Coordenadas: .
Coordenadas:
- Para
quero com
Equações:
Da primeira
. Da segunda
então
.
Coordenadas: .
Coordenadas:
Colunas montadas:
Passo 5
Expressar vetores de
em coordenadas da base
.
- Para
procuro tais que
Equações:
Da primeira
. Da segunda
então
.
Coordenadas: .
Coordenadas:
- Para
procuro tais que
Equações:
Da primeira
. Da segunda
então
.
Coordenadas: .
Coordenadas:
Logo
Passo 6
Usando as matrizes obtidas:
Multiplicando na ordem pedida (primeiro a da esquerda vezes a da direita):
Passo 7
- Regra geral de composição: para bases
vale Em palavras: primeiro converte coordenadas de para , depois de para ; na multiplicação matricial a ordem é da direita para a esquerda. - Aplicando aqui: temos
Note que isso é diferente de (a multiplicação na ordem contrária dá a matriz que calculámos no Passo 6, que não coincide com ). - Relação de inversos: também vale para quaisquer
porque mudar de para e voltar deve dar a identidade.
Resposta
Relação:
e
.]