Sejam \beta=\{(1,0),(0,1)\}, \beta_{1}=\{(-1,1),(1,1)\}, \beta_{2}=\{(\sqrt{3}, 1),(\sqrt{3},-1)\} e \beta_{3}=\{(2,0),(0,2)\} bases ordenadas de \mathbf{R}^{2}.
As coordenadas de um vetor \mathbf{v} em relação à base \beta_{1} sāo dadas por
Quais são as coordenadas de v em relação à base:
i) \beta
ii) \beta_{2}
iii) \beta_{3}
Passo 1
O enunciado dá as bases ordenadas de \mathbf{R}^{2} e as coordenadas de um vetor \mathbf{v} em relação à base \beta_{1}. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados:
\beta=\{(1,0),(0,1)\}.
\beta_{1}=\{(-1,1),(1,1)\}.
\beta_{2}=\{(\sqrt{3},1),(\sqrt{3},-1)\}.
\beta_{3}=\{(2,0),(0,2)\}.
As coordenadas de \mathbf{v} na base \beta_{1} são
escrito nas coordenadas padrão (isto é, na base \beta).]
Passo 3
Resposta para (i): calcular [\mathbf{v}]_{\beta}.
Como \beta é a base canônica \{(1,0),(0,1)\}, as coordenadas de \mathbf{v} nessa base são simplesmente as componentes de \mathbf{v}. Já encontramos \mathbf{v}=(-4,4). Logo
Isto gera um sistema obtido igualando componentes x e y:
\begin{cases} \sqrt{3}\,a+\sqrt{3}\,b = -4,\\[4pt] a - b = 4. \end{cases}
Explico como resolver: da primeira equação fatoramos \sqrt{3}\]:
\[\sqrt{3}(a+b)=-4 \quad\Rightarrow\quad a+b = -\dfrac{4}{\sqrt{3}}.\]
Da segunda equação já temos \(a-b=4.