Sejam \beta=\{(1,0),(0,1)\}, \beta_{1}=\{(-1,1),(1,1)\}, \beta_{2}=\{(\sqrt{3}, 1),(\sqrt{3},-1)\} e \beta_{3}=\{(2,0),(0,2)\} bases ordenadas de \mathbf{R}^{2}.
As coordenadas de um vetor \mathbf{v} em relação à base \beta_{1} sāo dadas por
[\mathbf{v}]_{\beta_{1}}=\left[\begin{array}{l} 4 \\\\ 0 \end{array}\right]
Quais são as coordenadas de v em relação à base:
i) \beta
ii) \beta_{2}
iii) \beta_{3}

Passo 1

O enunciado dá as bases ordenadas de \mathbf{R}^{2} e as coordenadas de um vetor \mathbf{v} em relação à base \beta_{1}. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados:
  • \beta=\{(1,0),(0,1)\}.
  • \beta_{1}=\{(-1,1),(1,1)\}.
  • \beta_{2}=\{(\sqrt{3},1),(\sqrt{3},-1)\}.
  • \beta_{3}=\{(2,0),(0,2)\}.
  • As coordenadas de \mathbf{v} na base \beta_{1} são
[\mathbf{v}]_{\beta_{1}}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]0\end{pmatrix}.
O enunciado pede:
i) Encontrar [\mathbf{v}]_{\beta}.
ii) Encontrar [\mathbf{v}]_{\beta_{2}}.
iii) Encontrar [\mathbf{v}]_{\beta_{3}}.]

Passo 2

Entender o que significa [\mathbf{v}]_{\beta_{1}}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Explicação didática curta e direta: o vetor de coordenadas [\mathbf{v}]_{\beta_{1}}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]0\end{pmatrix} significa que
\mathbf{v}=4\cdot\text{(primeiro vetor de }\beta_{1})+0\cdot\text{(segundo vetor de }\beta_{1}).
Como o primeiro vetor de \beta_{1} é (-1,1), temos
\mathbf{v}=4\cdot(-1,1)+0\cdot(1,1).
Agora calculo componente a componente:
4\cdot(-1,1) = (4\cdot(-1),\,4\cdot 1) = (-4,\,4).
Portanto
\mathbf{v}=(-4,\,4)
escrito nas coordenadas padrão (isto é, na base \beta).]

Passo 3

Resposta para (i): calcular [\mathbf{v}]_{\beta}.
Como \beta é a base canônica \{(1,0),(0,1)\}, as coordenadas de \mathbf{v} nessa base são simplesmente as componentes de \mathbf{v}. Já encontramos \mathbf{v}=(-4,4). Logo
[\mathbf{v}]_{\beta}=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]4\end{pmatrix}.
(Razão: em base canônica um vetor (x,y) tem coordenadas \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}.)]

Passo 4

Resposta para (ii): calcular [[\mathbf{v}]{\beta{2}}).
Estratégia e explicação: para achar as coordenadas de \mathbf{v} na base \beta_{2}=\{(\sqrt{3},1),(\sqrt{3},-1)\} procura-se escalares a,b tais que
\mathbf{v}=a\cdot(\sqrt{3},1)+b\cdot(\sqrt{3},-1).
Isto gera um sistema obtido igualando componentes x e y:
\begin{cases} \sqrt{3}\,a+\sqrt{3}\,b = -4,\\[4pt] a - b = 4. \end{cases}
Explico como resolver: da primeira equação fatoramos \sqrt{3}\]: \[\sqrt{3}(a+b)=-4 \quad\Rightarrow\quad a+b = -\dfrac{4}{\sqrt{3}}.\] Da segunda equação já temos \(a-b=4.
Agora somamos as duas equações para eliminar b:
(a+b)+(a-b)=2a = -\dfrac{4}{\sqrt{3}}+4.
Logo
a=\dfrac{1}{2}\!\left(4-\dfrac{4}{\sqrt{3}}\right)=2-\dfrac{2}{\sqrt{3}}.
Para b podemos usar b=(a+b)-a:
b=-\dfrac{4}{\sqrt{3}}-a = -\dfrac{4}{\sqrt{3}}-\left(2-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right) = -2-\dfrac{2}{\sqrt{3}}.
Opcionalmente pode-se escrever essas respostas com denominador racionalizado:
a=\dfrac{6-2\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2(3-\sqrt{3})}{3},\qquad b=-\dfrac{6+2\sqrt{3}}{3}=-\dfrac{2(3+\sqrt{3})}{3},
mas as formas 2-\dfrac{2}{\sqrt{3}} e -2-\dfrac{2}{\sqrt{3}} estão corretas e claras.
Portanto
[\mathbf{v}]_{\beta_{2}}=\begin{pmatrix} 2-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\\[6pt] -2-\dfrac{2}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Resposta para (iii): calcular [\mathbf{v}]_{\beta_{3}}.
Aqui \beta_{3}=\{(2,0),(0,2)\}. Procuramos escalares c,d tais que
\mathbf{v}=c\cdot(2,0)+d\cdot(0,2)=(2c,\,2d).
Igualando componentes com \mathbf{v}=(-4,4) obtemos
2c=-4,\qquad 2d=4.
Assim
c=-2,\qquad d=2.
Logo
[\mathbf{v}]_{\beta_{3}}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Resposta

[\mathbf{v}]_{\beta}=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]4\end{pmatrix}
[\mathbf{v}]_{\beta_{2}}=\begin{pmatrix}2-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\\[6pt]-2-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}
[\mathbf{v}]_{\beta_{3}}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]2\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados