Suponha que o polinômio característico da matriz que representa um operador linear sobre \Re^{3} seja
\operatorname{det}\left[[\mathbf{T}]_{\alpha}^{\alpha}-\lambda \mathbf{I}\right]=\lambda^{2}(\lambda-2)
onde \alpha é a base canônica do \Re^{3}.
(i) (1,0 ponto) Obtenha os autovalores de \mathbf{T}.
(ii) (1,0 ponto) \mathbf{T} é inversível?
(iii) ( 1,0 ponto) É possível afirmar que \mathbf{T} é diagonalizável? Apresente os argumentos pertinentes.

Passo 1

O enunciado fornece o polinômio característico da matriz de \mathbf{T} na base canônica de \mathbb{R}^{3}:
\det\!\big([\mathbf{T}]_{\alpha}^{\alpha}-\lambda \mathbf{I}\big)=\lambda^{2}(\lambda-2).
As perguntas que o exercício faz são:
  1. (i) Obter os autovalores de \mathbf{T}.
  2. (ii) Dizer se \mathbf{T} é inversível.
  3. (iii) Dizer se é possível afirmar que \mathbf{T} é diagonalizável e apresentar os argumentos.

Passo 2

Encontrar os autovalores significa achar as raízes do polinômio característico, isto é, os valores de \lambda que anulam
\lambda^{2}(\lambda-2)=0.
As raízes são as soluções de \lambda^{2}=0 e de \lambda-2=0. Logo os autovalores são:
\lambda=0\quad\text{(com multiplicidade algébrica }2\text{)}é
e
\lambda=2\quad\text{(com multiplicidade algébrica }1\text{).}é
Explicação rápida sobre terminologia: a multiplicidade algébrica de um autovalor é a multiplicidade da raiz correspondente no polinômio característico. Aqui 0 aparece com multiplicidade algébrica 2 porque o fator \lambda^{2} está presente.

Passo 3

Uma matriz (ou operador linear) é inversível se e somente se 0 não é autovalor. Outra maneira equivalente: \det([\mathbf{T}])\neq 0 é condição para inversibilidade. Note que
\det([\mathbf{T}])=\det\!\big([\mathbf{T}]-0\cdot\mathbf{I}\big)
é exatamente o valor do polinômio característico em \lambda=0. Avaliando o polinômio dado em \lambda=0 obtemos
0^{2}(0-2)=0.
Portanto \det([\mathbf{T}])=0, isto é, \mathbf{T} NÃO é inversível (porque 0 é autovalor).

Passo 4

Agora sobre diagonalizabilidade: uma matriz 3\times3 é diagonalizável sobre \mathbb{R} se existir uma base formada por autovetores, o que acontece exatamente quando a soma das dimensões dos espaços próprios (as multiplicidades geométricas) é 3. Outra formulação prática: para cada autovalor a multiplicidade geométrica (dimensão do núcleo de [\mathbf{T}]-\lambda\mathbf{I}) deve ser igual à sua multiplicidade algébrica, e a soma dessas dimensões deve ser 3.
Para \lambda=2 temos multiplicidade algébrica 1, portanto necessariamente a multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 1 (não pode ser zero), então esse autovalor fornece exatamente um autovetor independente.
Para \lambda=0 temos multiplicidade algébrica 2. A multiplicidade geométrica de \lambda=0 pode ser 1 ou 2 (sempre \ge 1 e \le multiplicidade algébrica). Se for 2, então teremos dois autovetores independentes associados a \lambda=0; junto com o autovetor de \lambda=2 isso dá 3 autovetores independentes e \mathbf{T} seria diagonalizável. Se a multiplicidade geométrica de \lambda=0 for 1, então existem apenas 1+1=2 autovetores independentes no total e \mathbf{T} não seria diagonalizável.
Conclusão lógica: com apenas o polinômio característico não é possível decidir, porque o polinômio não informa a dimensão do espaço próprio de \lambda=0. É preciso calcular o espaço próprio de \lambda=0 (isto é, resolver ([\mathbf{T}]-0\mathbf{I})\mathbf{v}=[\mathbf{T}]\mathbf{v}=\mathbf{0}) ou conhecer a forma de Jordan / polinômio minimal para afirmar.

Passo 5

Para fixar a intuição, mostro dois exemplos concretos (mesmo polinômio característico) — um diagonalizável e outro não — para que veja que a informação dada é insuficiente por si só.
Exemplo diagonalizável: a matriz diagonal
A=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&2\end{pmatrix}.
O polinômio característico de A é \lambda^{2}(\lambda-2). Os autovetores para \lambda=0 são todos os vetores da forma (x,y,0) com x,y independentes, então a multiplicidade geométrica de 0 é 2. Assim A tem três autovetores independentes e é diagonalizável (é já diagonal).
Exemplo não diagonalizável: a matriz Jordan com bloco 2\times2 para \lambda=0,
B=\begin{pmatrix}0&1&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&2\end{pmatrix}.
Também tem polinômio característico \lambda^{2}(\lambda-2). Agora resolvendo B\mathbf{v}=\mathbf{0} para \lambda=0 obtemos as equações
v_{2}=0,\qquad 0=0,\qquad 2v_{3}=0,
logo v_{2}=0 e v_{3}=0, só restando v_{1} livre; o espaço próprio de \lambda=0 é gerado por (1,0,0), de dimensão 1. Assim a multiplicidade geométrica de 0 é 1, menor que a multiplicidade algébrica 2, e B não é diagonalizável.
Esses dois exemplos mostram que o polinômio característico \lambda^{2}(\lambda-2) sozinho NÃO permite afirmar unicamente se \mathbf{T} é diagonalizável: depende da dimensão do espaço próprio associado a \lambda=0. No exame, para decidir, calcule explicitamente os autovetores (espaços próprios) ou obtenha o polinômio minimal; se o polinômio minimal não tiver fatores quadrados (i.e. for \lambda(\lambda-2)) então \mathbf{T} seria diagonalizável, mas se o minimal contiver \lambda^{2} então não será.]

Resposta

(i) \lambda=0 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda=2 (multiplicidade algébrica 1).
(ii) \mathbf{T} não é inversível.
(iii) Não é possível afirmar apenas com o polinômio característico: \mathbf{T} é diagonalizável se e somente se a multiplicidade geométrica de \lambda=0 for 2; se a multiplicidade geométrica de \lambda=0 for 1 então \mathbf{T} não é diagonalizável.

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