Sejam
o campo vetorial tridimensional dado por
e
a região delimitada pela esfera
. Determine o fluxo de F através da superfície esférica, com normal
apontando para fora da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial tridimensional
e uma região
delimitada pela esfera
. A tarefa é encontrar o fluxo de
através da superfície esférica com a normal
apontando para fora. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que é uma ferramenta poderosa em cálculo vetorial para calcular fluxos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo basicamente mede a quantidade de “fluido” que passa pela superfície. Matematicamente, é calculado como a integral de superfície de
, onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Para facilitar nossos cálculos, vamos aplicar o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral de volume da divergência do campo vetorial dentro dessa superfície. A fórmula é:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a divergência de
, que é
. A divergência mede a taxa de expansão do campo vetorial em cada ponto.
No nosso caso,
,
, e
. Então:
Passo 5
Com a divergência calculada, vamos aplicar o Teorema da Divergência para encontrar o fluxo. Precisamos calcular a integral de volume de
sobre a região
.
Passo 6
A integral
representa o volume da esfera de raio 1. Sabemos que o volume de uma esfera é dado por:
Como o raio
:
Passo 7
Agora, substituímos o volume na expressão do fluxo:
Resposta
O fluxo de
através da superfície esférica é
.