2.5 Desenhe a imagem da superfície parametrizada dada por sigma(u, v) = (1, u, v), onde 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= 1. Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto sigma(1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenhar a imagem da superfície parametrizada pela função , com u e v variando entre 0 e 1. Além disso, precisamos encontrar a equação do plano tangente a essa superfície no ponto específico sigma(1,1).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a parametrização representa. Essa função mapeia cada par (u, v) para um ponto no espaço tridimensional onde a primeira coordenada é sempre 1, enquanto u e v variam. Isso basicamente descreve um plano paralelo ao plano , localizado em x = 1, com u e v variando de 0 a 1.

Passo 3

Para desenhar a imagem da superfície, imagine um retângulo no espaço tridimensional formado pelos valores de u e v. Como x é sempre 1, esse retângulo estará totalmente no plano x = 1, variando de a .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto sigma(1,1). Primeiro, identificamos as coordenadas desse ponto. Substituindo e na parametrização, temos:

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar os vetores tangentes à superfície nesse ponto. Para isso, calculamos as derivadas parciais de sigma em relação a u e v.
A derivada parcial em relação a u:
A derivada parcial em relação a v:

Passo 6

Com os vetores tangentes e , podemos encontrar o vetor normal ao plano tangente usando o produto vetorial:

Passo 7

Agora, usando o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação do plano tangente. A forma geral da equação de um plano é:
onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e é o ponto pelo qual o plano passa.
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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