Sejam A=[cccc1 & -1 & 0 & 2 4 & -2 & 1 & 7 2 & 4 & 3 & 1 4 & -4 & 0 & 8] e b=[cccc1 & 2 & k1 & k2]^top. Para quais valores de k1 e k2 o sistema linear A X=b possui solução? Para esses valores encontrados, determine o conjunto solução do sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de coeficientes
e o vetor
Queremos achar todos os tais que seja compatível, e para esses valores determinar o conjunto–solução. Vamos usar eliminação de Gauss na matriz aumentada , obter as condições de consistência (linhas nulas) e depois resolver o sistema reduzido, identificando variáveis livres.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada e aplicando operações elementares:
[Amid b]= 1 & -1 & 0 & 2 &mid& 1 4 & -2 & 1 & 7 &mid& 2 2 & 4 & 3 & 1 &mid& k1 4 & -4 & 0 & 8 &mid& k2
Fazendo
R2to R2-4R1, R3to R3-2R1, R4to R4-4R1,
vem
1 & -1 & 0 & 2 &mid& 1 0 & 2 & 1 & -1&mid& -2 0 & 6 & 3 & -3&mid& k1-2 0 & 0 & 0 & 0 &mid& k2-4
Em seguida
R3to R3-3R2
produz
1 & -1 & 0 & 2 &mid& 1 0 & 2 & 1 & -1&mid& -2 0 & 0 & 0 & 0 &mid& k1+4 0 & 0 & 0 & 0 &mid& k2-4

Passo 3

Para que não haja linha impossível do tipo 0=,não zeroã, precisamos
k1 + 4 = 0 e k2 - 4 = 0
Logo o sistema é compatível se, e somente se,
k1 = -4, k2 = 4

Passo 4

Supondo k1=-4 e k2=4, as duas últimas linhas desaparecem e restam apenas as duas equações pivô:
x1 - x2 + 2x4 = 1, 2x2 + x3 - x4 = -2
Como temos 4 incógnitas e 2 equações independentes, o posto é 2 e há 2 variáveis livres. Tomemos
x3 = t, x4 = s, t,sin R
Da segunda equação,
2x2 = -2 -x3 + x4 ;Longrightarrow; x2 = -1 - tfrac12,t + tfrac12,s
Da primeira,
x1 = 1 + x2 -2x4 =1 +l(-1 - tfrac12 t + tfrac12 sr)-2s = -tfrac12,t - tfrac32,s

Passo 5

Portanto, para k1=-4 e k2=4, o conjunto–solução é
l(x1,x2,x3,x4)in R^4mid x1 = -tfrac12 t - tfrac32 s,; x2 = -1 - tfrac12 t + tfrac12 s,; x3 = t,; x4 = s, ;t,sin R r

Resposta

Os valores de compatibilidade são
k1 = -4, k2 = 4
Para esses valores, a solução geral é
(x1,x2,x3,x4) =l(-tfrac12 t-tfrac32 s,,-1-tfrac12 t+tfrac12 s,,t,,sr), t,sin R

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