Exercício 13. Mostre que as seguintes retas são coplanares.
r1: x+22=y3=z-54 e r2: x+5-1=y+31=z-63

Passo 1

Vamos escrever cada reta em forma paramétrica e identificar um ponto e um vetor diretor.
Para
r1:x+22=y3=z-54=t
temos
x=-2+2t, y=3t, z=5+4t,
ou seja, um ponto em r1 é
P1=(-2,0,5)
e seu vetor diretor é
v1=(2,3,4)
Para
r2:x+5-1=y+31=z-63=s
temos
x=-5 - s, y=-3 + s, z=6+3s,
ou seja, um ponto em r2 é
P2=(-5,-3,6)
e seu vetor diretor é
v2=(-1,1,3)

Passo 2

Duas retas são coplanares se, e somente se, o vetor P1P2 e os vetores diretores v1,v2 são linearmente dependentes; isso equivale a
l(v1timesv2r)cdot P1P2 = 0
Calculamos
P1P2 = P2-P1 = (-5,-3,6)-(-2,0,5) = (-3,-3,1),
v1timesv2 = i & j & k 2 & 3 & 4 -1 & 1 & 3 = (3cdot3-4cdot1),i-l(2cdot3-4cdot(-1)r),j+(2cdot1-3cdot(-1)),k = (5,-10,5)
Agora o produto escalar:
(5,-10,5)cdot(-3,-3,1) =5cdot(-3)+(-10)cdot(-3)+5cdot1 =-15+30+5=20neq0

Passo 3

Como
l(v1timesv2r)cdot P1P2neq0,
os três vetores são linearmente independentes, o que mostra que as retas não estão contidas num mesmo plano.

Resposta

As retas não são coplanares.

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