Em uma prova de múltipla escolha, cada questão tem 5 alternativas, sendo apenas uma delas correta. Ao não saber a resposta, o aluno “chuta” aleatoriamente uma resposta qualquer entre as possíveis escolhas. Levando-se em conta um aluno mediano, que saiba
do conteúdo, qual será a chance de ele acertar uma das 5 questões escolhida aleatoriamente? E qual a chance de ele acertar exatamente 3 questões?
Solução
Enunciado
Em uma prova de múltipla escolha, cada questão tem 5 alternativas, sendo apenas uma delas correta. Ao não saber a resposta, o aluno “chuta” aleatoriamente uma resposta qualquer entre as possíveis escolhas. Levando-se em conta um aluno mediano, que saiba
do conteúdo, qual será a chance de ele acertar uma das 5 questões escolhida aleatoriamente? E qual a chance de ele acertar exatamente 3 questões?
Solução
Este problema consiste em calcular a probabilidade incondicional de um aluno acertar uma questão qualquer. Isto é, sem saber se ele domina ou não o conteúdo, qual é a chance de acertar uma questão?
Para resolver este exercício, portanto, você deve aplicar o teorema da Probabilidade Total.
Considere os eventos:
Assuma que, se o aluno sabe o conteúdo, ele tem
de probabilidade de acertar a questão considerada. Se ele não domina o assunto, “chutará” uma resposta, com
de chance de acertar pois há 5 alternativas possíveis.
Então, temos:
Para calcular a chance de o aluno acertar exatamente 3 questões, vamos utilizar a informação obtida na primeira parte do exercício.
Essa chance será calculada multiplicando a chance de ele acertar 3 questões multiplicada pela chance de errar 2 questões multiplicada pelo número possível de combinações com 3 questões certas e 2 erradas. Utilizando o que você aprendeu sobre regra do produto e os conhecimentos que já possuía sobre combinações temos:
Em uma prova de múltipla escolha, cada questão tem 5 alternativas, sendo apenas uma delas correta. Ao não saber a resposta, o aluno “chuta” aleatoriamente uma resposta qualquer entre as possíveis escolhas. Levando-se em conta um aluno mediano, que saiba
Este problema consiste em calcular a probabilidade incondicional de um aluno acertar uma questão qualquer. Isto é, sem saber se ele domina ou não o conteúdo, qual é a chance de acertar uma questão?
Considere os eventos:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que se pede.
-
Dados do enunciado:
- Cada questão tem 5 alternativas, apenas 1 correta.
- Se o aluno não souber a resposta, ele chuta aleatoriamente entre as 5 alternativas.
- O aluno sabe
do conteúdo, isto é, a probabilidade de ele saber a questão escolhida é . - Se o aluno sabe a questão, assumimos que ele acerta com probabilidade
. - Se ele não sabe (evento
), chuta e a probabilidade de acertar é .
-
Perguntas:
- Qual a chance de ele acertar uma das 5 questões escolhida aleatoriamente? (probabilidade incondicional de acertar uma questão)
- Qual a chance de ele acertar exatamente 3 questões (em uma prova com 5 questões)?
Passo 2
Vamos primeiro calcular a probabilidade incondicional de acertar uma questão qualquer. Defino os eventos:
-
= acertar a questão; -
= saber a questão; -
= não saber a questão.
Usamos o Teorema da Probabilidade Total, que diz que se
é uma partição do espaço, então
Aqui:
-
. -
. -
(se sabe, acerta). -
(se chuta entre 5, chance ).
Agora aplico a fórmula:
Passo 3
Faço as contas explicitamente:
Somando,
Interpretação: a probabilidade de qualquer questão escolhida aleatoriamente ser acertada por esse aluno mediano é
(ou
).
Passo 4
Agora a segunda pergunta: probabilidade de acertar exatamente
questões em uma prova com
questões. Modelamos o número de acertos
como uma variável binomial porque:
- cada questão é um ensaio de Bernoulli (sucesso = acertar) com mesma probabilidade
; - assumimos independência entre questões (modelo usual em provas quando as respostas não influenciam umas às outras);
- número de ensaios
.
A distribuição binomial
tem fórmula
onde:
-
é o número total de questões ( ); -
é o número de acertos desejado ( ); -
é a probabilidade de acertar numa questão ( ); -
é o coeficiente binomial, o número de maneiras de escolher quais questões são as certas entre .
Calculo o coeficiente binomial:
Passo 5
Agora calculo cada fator da fórmula:
Faço passo a passo:
E
Multiplico tudo na fórmula:
Faço a multiplicação final:
Arredondando sensatamente, a probabilidade de acertar exatamente 3 questões é aproximadamente
(ou cerca de
).
Passo 6
Resumo rápido do raciocínio que serve para a prova:
- Use o Teorema da Probabilidade Total para encontrar a probabilidade de sucesso em uma questão quando há duas maneiras de chegar ao sucesso (saber ou chutar).
- Depois, modele o número de acertos em
questões por uma binomial com obtido acima; aplique . - Calcule com cuidado
, e .
Resposta
A probabilidade de acertar uma questão escolhida aleatoriamente é
.
A probabilidade de acertar exatamente 3 questões (em 5) é aproximadamente
.