Em uma prova de múltipla escolha, cada questão tem 5 alternativas, sendo apenas uma delas correta. Ao não saber a resposta, o aluno “chuta” aleatoriamente uma resposta qualquer entre as possíveis escolhas. Levando-se em conta um aluno mediano, que saiba 60 \% do conteúdo, qual será a chance de ele acertar uma das 5 questões escolhida aleatoriamente? E qual a chance de ele acertar exatamente 3 questões?

Solução

Enunciado
Em uma prova de múltipla escolha, cada questão tem 5 alternativas, sendo apenas uma delas correta. Ao não saber a resposta, o aluno “chuta” aleatoriamente uma resposta qualquer entre as possíveis escolhas. Levando-se em conta um aluno mediano, que saiba 60 \% do conteúdo, qual será a chance de ele acertar uma das 5 questões escolhida aleatoriamente? E qual a chance de ele acertar exatamente 3 questões?
Solução
Este problema consiste em calcular a probabilidade incondicional de um aluno acertar uma questão qualquer. Isto é, sem saber se ele domina ou não o conteúdo, qual é a chance de acertar uma questão?
Para resolver este exercício, portanto, você deve aplicar o teorema da Probabilidade Total.
Considere os eventos:
\begin{aligned} & A=\text { acertar } \\\ & B=\text { saber o conteúdo } \\\ & \bar{B}=\text { não saber o conteúdo e, portanto, "chutar" uma alternativa } \end{aligned}úãú
Assuma que, se o aluno sabe o conteúdo, ele tem 100 \% de probabilidade de acertar a questão considerada. Se ele não domina o assunto, “chutará” uma resposta, com 20 \% de chance de acertar pois há 5 alternativas possíveis.
Então, temos:
\begin{aligned} & P(A)=P(B) \cdot P(A \mid B)+P(\bar{B}) \cdot P(A \mid \bar{B}) \\\ & P(A)=0,6 \times 1,0+0,4 \times 0,2=0,68 \end{aligned}
Para calcular a chance de o aluno acertar exatamente 3 questões, vamos utilizar a informação obtida na primeira parte do exercício.
Essa chance será calculada multiplicando a chance de ele acertar 3 questões multiplicada pela chance de errar 2 questões multiplicada pelo número possível de combinações com 3 questões certas e 2 erradas. Utilizando o que você aprendeu sobre regra do produto e os conhecimentos que já possuía sobre combinações temos:
(0,68)^{3} *(1-0,68)^{2} *\binom{5}{3}=0,314432 * 0,1024 * 10 \cong 0,321978

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que se pede.
  • Dados do enunciado:
    • Cada questão tem 5 alternativas, apenas 1 correta.
    • Se o aluno não souber a resposta, ele chuta aleatoriamente entre as 5 alternativas.
    • O aluno sabe 60\% do conteúdo, isto é, a probabilidade de ele saber a questão escolhida é P(B)=0,6.
    • Se o aluno sabe a questão, assumimos que ele acerta com probabilidade 1{,}0.
    • Se ele não sabe (evento \bar{B}), chuta e a probabilidade de acertar é \dfrac{1}{5}=0{,}2.
  • Perguntas:
    1. Qual a chance de ele acertar uma das 5 questões escolhida aleatoriamente? (probabilidade incondicional de acertar uma questão)
    2. Qual a chance de ele acertar exatamente 3 questões (em uma prova com 5 questões)?

Passo 2

Vamos primeiro calcular a probabilidade incondicional de acertar uma questão qualquer. Defino os eventos:
  • A = acertar a questão;
  • B = saber a questão;
  • \bar{B} = não saber a questão.
Usamos o Teorema da Probabilidade Total, que diz que se \{B,\bar{B}\} é uma partição do espaço, então
P(A)=P(B)\,P(A\mid B)+P(\bar{B})\,P(A\mid\bar{B}).
Aqui:
  • P(B)=0{,}6.
  • P(\bar{B})=1-P(B)=0{,}4.
  • P(A\mid B)=1{,}0 (se sabe, acerta).
  • P(A\mid\bar{B})=0{,}2 (se chuta entre 5, chance 1/5).
Agora aplico a fórmula:
P(A)=0{,}6\times 1{,}0 + 0{,}4\times 0{,}2.

Passo 3

Faço as contas explicitamente:
0{,}6\times 1{,}0 = 0{,}6, \qquad 0{,}4\times 0{,}2 = 0{,}08.
Somando,
P(A)=0{,}6+0{,}08=0{,}68.
Interpretação: a probabilidade de qualquer questão escolhida aleatoriamente ser acertada por esse aluno mediano é 0{,}68 (ou 68\%).

Passo 4

Agora a segunda pergunta: probabilidade de acertar exatamente 3 questões em uma prova com 5 questões. Modelamos o número de acertos X como uma variável binomial porque:
  • cada questão é um ensaio de Bernoulli (sucesso = acertar) com mesma probabilidade p=P(A)=0{,}68;
  • assumimos independência entre questões (modelo usual em provas quando as respostas não influenciam umas às outras);
  • número de ensaios n=5.
A distribuição binomial X\sim\mathrm{Bin}(n,p) tem fórmula
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • n é o número total de questões ( n=5);
  • k é o número de acertos desejado ( k=3);
  • p é a probabilidade de acertar numa questão ( p=0{,}68);
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, o número de maneiras de escolher quais k questões são as certas entre n.
Calculo o coeficiente binomial:
\binom{5}{3}=\dfrac{5!}{3!2!}=\dfrac{5\cdot 4\cdot 3!}{3!\cdot 2\cdot 1}=10.

Passo 5

Agora calculo cada fator da fórmula:
p^{3}=(0{,}68)^{3}.
Faço passo a passo:
(0{,}68)^{2}=0{,}4624, \qquad (0{,}68)^{3}=0{,}4624\times 0{,}68=0{,}314432.
E
1-p=1-0{,}68=0{,}32, \qquad (1-p)^{2}=(0{,}32)^{2}=0{,}1024.
Multiplico tudo na fórmula:
P(X=3)=\binom{5}{3}\,(0{,}68)^{3}\,(0{,}32)^{2}=10\times 0{,}314432 \times 0{,}1024.
Faço a multiplicação final:
0{,}314432\times 0{,}1024 \approx 0{,}0321978,
10\times 0{,}0321978 \approx 0{,}321978.
Arredondando sensatamente, a probabilidade de acertar exatamente 3 questões é aproximadamente 0{,}32198 (ou cerca de 32{,}198\%).

Passo 6

Resumo rápido do raciocínio que serve para a prova:
  • Use o Teorema da Probabilidade Total para encontrar a probabilidade de sucesso em uma questão quando há duas maneiras de chegar ao sucesso (saber ou chutar).
  • Depois, modele o número de acertos em n questões por uma binomial \mathrm{Bin}(n,p) com p obtido acima; aplique \;P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\;.
  • Calcule com cuidado p^{k}, (1-p)^{n-k} e \binom{n}{k}.

Resposta

A probabilidade de acertar uma questão escolhida aleatoriamente é 0{,}68.
A probabilidade de acertar exatamente 3 questões (em 5) é aproximadamente 0{,}321978.

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