Questão 1 ( 3,0 pontos) - Em um determinado aeroporto, um teste indicou vestigios de manusueio significativo de drogas ilícitas para um certo individuo (Evidência), o que levou a duas hipóteses: H1 - este individou é traficante; H2 - este indíviduo não é traficante. Sabe-se que neste aeroporto em particilar,
dos passageiros que trafegam por ele são traficantes de fato. Suponha ainda que a probabilidade do teste indicar positivamente um traficante é de
; e também que há a probabilidade de
de indicar como traficante uma pessoa que não o é. Nestas condições, o que é mais provável - o passageiro ser ou não um traficante?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Evento de interesse:
-
= evidência (teste indicou vestígios de manuseio de drogas). -
= pessoa é traficante. -
= pessoa não é traficante.
-
- Probabilidades fornecidas:
- Probabilidade a priori de ser traficante:
(ou ). - Probabilidade a priori de não ser traficante:
. - Sensibilidade (teste positivo dado que é traficante):
(ou ). - Taxa de falso positivo (teste positivo dado que não é traficante):
(ou ).
- Probabilidade a priori de ser traficante:
- O que o enunciado pede:
- Determinar o que é mais provável dado que o teste indicou positivamente: que o passageiro seja traficante (
) ou que não seja ( )?
- Determinar o que é mais provável dado que o teste indicou positivamente: que o passageiro seja traficante (
Passo 2
Explicando o objetivo em termos probabilísticos: queremos comparar as probabilidades condicionais
A que ocorrerá com maior probabilidade após sabermos que o teste foi positivo.
Passo 3
Vou apresentar a fórmula que usamos (Teorema de Bayes) e explicar cada símbolo de forma bem direta.
A fórmula para a probabilidade posterior de ser traficante dado o teste positivo é
A fórmula para a probabilidade posterior de ser traficante dado o teste positivo é
Aqui:
-
é a probabilidade do teste dar positivo se a pessoa for traficante (já dada). -
é a probabilidade a priori de ser traficante. -
é a probabilidade total de o teste dar positivo (seja a pessoa traficante ou não). Essa é calculada pela regra da probabilidade total:
Explicação simples: o numerador conta os casos em que a pessoa é traficante e o teste acerta; o denominador normaliza contando todos os casos em que o teste dá positivo (verdadeiros positivos + falsos positivos).
Passo 4
Calcular
usando os números dados:
Fazendo as contas passo a passo:
logo
Passo 5
Agora calcular
aplicando Bayes:
Podemos simplificar essa fração observando uma interpretação por contagem (útil para entender): suponha
passageiros,
- Traficantes esperados:
. Destes, testam positivo: verdadeiros positivos. - Não traficantes:
. Destes, testam positivo: falsos positivos. - Total de positivos:
.
Portanto a fração de positivos que são realmente traficantes é, que reduz para . Em forma decimal:
Passo 6
Calcular o complemento (probabilidade de não ser traficante dado o teste positivo):
Interpretação final e intuição: mesmo com um teste relativamente específico (falso positivo
) e razoável sensibilidade (
), a baixa prevalência (
) faz com que a maioria dos positivos seja composta por falsos positivos. Isso é um exemplo clássico do chamado “efeito da taxa base” (base rate): quando a condição é rara, muitos dos positivos serão falsos positivos, e portanto é mais provável que a pessoa não seja traficante apesar do teste positivo.