Questão 1 ( 3,0 pontos) - Em um determinado aeroporto, um teste indicou vestigios de manusueio significativo de drogas ilícitas para um certo individuo (Evidência), o que levou a duas hipóteses: H1 - este individou é traficante; H2 - este indíviduo não é traficante. Sabe-se que neste aeroporto em particilar, 4 \% dos passageiros que trafegam por ele são traficantes de fato. Suponha ainda que a probabilidade do teste indicar positivamente um traficante é de 50 \%; e também que há a probabilidade de 5 \% de indicar como traficante uma pessoa que não o é. Nestas condições, o que é mais provável - o passageiro ser ou não um traficante?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Evento de interesse:
    • E = evidência (teste indicou vestígios de manuseio de drogas).
    • T = pessoa é traficante.
    • \neg T = pessoa não é traficante.
  • Probabilidades fornecidas:
    • Probabilidade a priori de ser traficante: P(T)=0,04 (ou 4\%).
    • Probabilidade a priori de não ser traficante: P(\neg T)=0,96.
    • Sensibilidade (teste positivo dado que é traficante): P(E\mid T)=0,5 (ou 50\%).
    • Taxa de falso positivo (teste positivo dado que não é traficante): P(E\mid \neg T)=0,05 (ou 5\%).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o que é mais provável dado que o teste indicou positivamente: que o passageiro seja traficante ( T) ou que não seja ( \neg T)?

Passo 2

Explicando o objetivo em termos probabilísticos: queremos comparar as probabilidades condicionais
P(T\mid E) \qquad\text{e}\qquad P(\neg T\mid E).
A que ocorrerá com maior probabilidade após sabermos que o teste foi positivo.

Passo 3

Vou apresentar a fórmula que usamos (Teorema de Bayes) e explicar cada símbolo de forma bem direta.
A fórmula para a probabilidade posterior de ser traficante dado o teste positivo é
P(T\mid E)=\frac{P(E\mid T)\,P(T)}{P(E)}.
Aqui:
  • P(E\mid T) é a probabilidade do teste dar positivo se a pessoa for traficante (já dada).
  • P(T) é a probabilidade a priori de ser traficante.
  • P(E) é a probabilidade total de o teste dar positivo (seja a pessoa traficante ou não). Essa P(E) é calculada pela regra da probabilidade total:
P(E)=P(E\mid T)\,P(T)+P(E\mid \neg T)\,P(\neg T).
Explicação simples: o numerador conta os casos em que a pessoa é traficante e o teste acerta; o denominador normaliza contando todos os casos em que o teste dá positivo (verdadeiros positivos + falsos positivos).

Passo 4

Calcular P(E) usando os números dados:
P(E)=0,5\cdot 0,04 + 0,05\cdot 0,96.
Fazendo as contas passo a passo:
0,5\cdot 0,04 = 0,02, \qquad 0,05\cdot 0,96 = 0,048,
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P(E)=0,02+0,048=0,068.

Passo 5

Agora calcular P(T\mid E) aplicando Bayes:
P(T\mid E)=\frac{P(E\mid T)\,P(T)}{P(E)}=\frac{0,02}{0,068}.
Podemos simplificar essa fração observando uma interpretação por contagem (útil para entender): suponha 1000 passageiros,
  • Traficantes esperados: 1000\cdot 0,04 = 40. Destes, 50\% testam positivo: 40\cdot 0,5 = 20 verdadeiros positivos.
  • Não traficantes: 1000\cdot 0,96 = 960. Destes, 5\% testam positivo: 960\cdot 0,05 = 48 falsos positivos.
  • Total de positivos: 20+48=68.
    Portanto a fração de positivos que são realmente traficantes é 20/68, que reduz para 5/17. Em forma decimal:
P(T\mid E)=\frac{5}{17}\approx 0,2941\\ (\text{ou }29{,}41\%).

Passo 6

Calcular o complemento (probabilidade de não ser traficante dado o teste positivo):
P(\neg T\mid E)=1-P(T\mid E)=1-\frac{5}{17}=\frac{12}{17}\approx 0,7059\\ (\text{ou }70{,}59\%).
Interpretação final e intuição: mesmo com um teste relativamente específico (falso positivo 5\%) e razoável sensibilidade ( 50\%), a baixa prevalência ( 4\%) faz com que a maioria dos positivos seja composta por falsos positivos. Isso é um exemplo clássico do chamado “efeito da taxa base” (base rate): quando a condição é rara, muitos dos positivos serão falsos positivos, e portanto é mais provável que a pessoa não seja traficante apesar do teste positivo.

Resposta

P(T\mid E)=\dfrac{5}{17}\approx 0,2941 (29,41%)
P(\neg T\mid E)=\dfrac{12}{17}\approx 0,7059 (70,59%) — portanto é mais provável que o passageiro não seja traficante.

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