Sejam os conjuntos A=\{1,2,3,4\}, B=\{3,4,5,6\} e C=\{4,5,6,7\}. Determine:
A \cap(B \cap C)

Passo 1

O enunciado dá três conjuntos:
A=\{1,2,3,4\}, B=\{3,4,5,6\} e C=\{4,5,6,7\}.
A pergunta é: determine A \cap (B \cap C). Vou listar essas informações claramente para não nos perder.

Passo 2

Primeiro, lembrar a definição de interseção: para quaisquer conjuntos X e Y,
X \cap Y = \{x \mid x \in X \text{ e } x \in Y\}.
Isso significa que um elemento pertence a X \cap Y somente se ele pertence simultaneamente a X e a Y. Na prova, a maneira prática de aplicar isso é olhar elemento por elemento e verificar se ele está presente em ambos os conjuntos.

Passo 3

Calcular B \cap C. Vou verificar cada elemento de B=\{3,4,5,6\} e ver se também está em C=\{4,5,6,7\}:
  • 3: não está em C (pois C tem 4,5,6,7), então 3\notin B\cap C.
  • 4: está em C, então 4\in B\cap C.
  • 5: está em C, então 5\in B\cap C.
  • 6: está em C, então 6\in B\cap C.
Portanto,
B \cap C = \{4,5,6\}.

Passo 4

Agora calcular A \cap (B \cap C). Temos A=\{1,2,3,4\} e já encontramos B\cap C=\{4,5,6\}. Verifico cada elemento de A:
  • 1: não está em \{4,5,6\}, logo 1\notin A\cap(B\cap C).
  • 2: não está em \{4,5,6\}, logo 2\notin A\cap(B\cap C).
  • 3: não está em \{4,5,6\}, logo 3\notin A\cap(B\cap C).
  • 4: está em \{4,5,6\}, logo 4\in A\cap(B\cap C).
Assim chegamos ao conjunto final da interseção.

Passo 5

(Verificação alternativa rápida) Pela propriedade associativa da interseção, A\cap(B\cap C) = (A\cap B)\cap C. Se quisermos checar:
  • A\cap B = \{3,4\}.
  • (A\cap B)\cap C = \{3,4\}\cap\{4,5,6,7\} = \{4\}.
    Confirma o resultado anterior — bom truque para checar seu raciocínio na prova.

Resposta

\{4\}

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