Exercicio 01. Considerando que a energia interna
e a entalpia
de um gás ideal possam ser escritas como funções de estado dependentes da temperatura
, volume
e pressão
do sistema, responda:
a) escreva os diferenciais totais de energia
e de entalpia
do gás ideal e justifique sem utilizar o critério de Euler se os mesmos são exatos ou inexatos;
b) considerando a
lei da termodinâmica, demonstre que os diferenciais de energia a volume constante e de entalpia a pressão constante podem ser respectivamente escritos por
e
;
c) sabendo que a capacidade calorífica
do sistema é definida por
, demonstre que
. Explique o significado físico de capacidade calorífica, esclarecendo a razão para
ser maior que
.
a) escreva os diferenciais totais de energia
b) considerando a
c) sabendo que a capacidade calorífica
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras:
-
Dados fornecidos:
- A energia interna do gás ideal:
. - A entalpia definida por
. - O gás obedece a equação de estado ideal (implícita quando se usa
).
- A energia interna do gás ideal:
-
O que é pedido:
a) Escrever os diferenciais totaise e justificar (sem usar o critério de Euler) se esses diferenciais são exatos ou inexatos.
b) Usando a primeira lei da termodinâmica, demonstrar que, para processos a volume constante e a pressão constante, pode-se escrevere , respectivamente.
c) Sabendo que a capacidade caloríficaé definida por , demonstrar que e explicar fisicamente o que é capacidade calorífica e por que .
Vou então desenvolver cada item passo a passo.
Passo 2
(a) Encontrar
e discutir exatidão.
- Primeiro: como montar um diferencial total. Se uma grandeza
é dada como função de duas variáveis , então o diferencial total é
Aqui aplicamos isso a
.
-
Calcular as derivadas parciais de
: -
, porque é linear em . -
, porque na expressão dada não depende de .
-
-
Logo o diferencial total é
- Justificativa de exatidão sem usar critério de Euler:
- Um diferencial é dito “exato” quando ele é o diferencial total de uma função de estado: isto é, existe uma função
tal que o diferencial dado é precisamente . Aqui foi explicitamente dada por . Portanto o diferencial que escrevemos é o diferencial total dessa função e é, por definição, exato. - Outra maneira intuitiva: se integrarmos
entre dois estados quaisquer, obtemos a diferença que depende apenas dos estados inicial e final (independência de caminho). Isso caracteriza um diferencial exato. No caso aqui, como depende somente de , a variação de energia entre dois estados depende apenas da variação de temperatura, reforçando que é exato.
- Um diferencial é dito “exato” quando ele é o diferencial total de uma função de estado: isto é, existe uma função
Passo 3
(a) Encontrar
e discutir exatidão.
- Começamos de
. O diferencial total é
- Expandindo
pelo produto:
- Substituindo
obtido no passo anterior:
- Observação usando a lei dos gases ideais: para um gás ideal vale
. Substituindo na expressão de :
de onde diretamente
Isto mostra que, para o gás ideal,
é função apenas de
, então
também é um diferencial exato (é o diferencial total de
). Novamente, justificativa sem usar o critério de Euler:
foi dada explicitamente como função de estado (via
e
), e a integral de
entre dois estados depende apenas dos estados inicial e final — característica de diferencial exato.
Passo 4
(b) Demonstração a partir da primeira lei da termodinâmica.
- A primeira lei, para um processo elementar reversible, é
- Para trabalho de expansão (trabalho
) vale . Portanto
- Processo a volume constante:
. Assim, em constante temos
Aqui
é o calor trocado no processo a volume constante. O enunciado pede escrever
, então está demonstrado.
- Agora para a entalpia
: partimos de e tomamos diferencial,
- Substituindo
obtemos
- Para processo a pressão constante:
. Portanto, em constante
Isto demonstra que o calor trocado a pressão constante é igual ao aumento de entalpia, i.e.
.
Passo 5
(c) Capacidades caloríficas e demonstração de
.
- Definição: a capacidade calorífica
é a razão entre o calor trocado e a variação de temperatura no processo considerado:
onde
depende do tipo de processo (ex.:
para
constante,
para
constante).
-
Capacidade a volume constante:
- Pelo resultado do passo 4, em processo a
constante . - Então
- Como
, segue
- Pelo resultado do passo 4, em processo a
-
Capacidade a pressão constante:
- Pelo passo 4, em processo a
constante . - Então
- Como para gás ideal
, temos e
- Pelo passo 4, em processo a
-
Diferença:
Isto demonstra a relação pedida.
Passo 6
(Interpretação física e intuição, para fixar o conceito)
-
Significado físico de capacidade calorífica:
mede quanta calor é necessário fornecer a um sistema para aumentar sua temperatura em uma unidade (por exemplo, 1 K). Quanto maior , mais calor é necessário para provocar a mesma elevação de temperatura — o sistema “resiste” mais à mudança de temperatura. -
Por que
fisicamente: - A diferença vem do trabalho de expansão. A uma pressão constante, quando se fornece calor ao gás, parte desse calor vai para aumentar a energia interna (elevar a temperatura) e parte é usada para realizar trabalho de expansão
sobre o ambiente. Portanto é preciso fornecer mais calor para obter a mesma elevação de temperatura quando o gás pode expandir (pressão constante) do que quando o volume é fixo (sem trabalho de expansão). Isso torna maior que . - A quantidade adicional de calor necessária para permitir o trabalho de expansão por unidade de aumento de temperatura é exatamente
, por isso .
- A diferença vem do trabalho de expansão. A uma pressão constante, quando se fornece calor ao gás, parte desse calor vai para aumentar a energia interna (elevar a temperatura) e parte é usada para realizar trabalho de expansão
-
Exemplo numérico rápido (ajuda a memorizar): para uma mole (
), -
, -
, - diferença
.
-
Resposta
(a)
\quad (diferencial exato, pois
é função de estado).
\quad (equivalente a
usando
; diferencial exato, pois
é função de estado).
(b) e
.
(c) e portanto
.
(b)
(c)