Sejam os conjuntos A=\{1,2,3,4\}, B=\{3,4,5,6\} e C=\{4,5,6,7\}. Determine:
(A \cap B) \cup \varnothing

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
A=\{1,2,3,4\}, B=\{3,4,5,6\} e C=\{4,5,6,7\}.
A pergunta pedida é calcular a expressão
(A \cap B) \cup \varnothing.

Passo 2

Entender o que é A\cap B. Por definição,
A\cap B=\{x \mid x\in A \text{ e } x\in B\}.
Ou seja, A\cap B é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B. Vou verificar cada elemento de A para ver se está também em B:
  • Para 1: 1\notin B, então não entra.
  • Para 2: 2\notin B, então não entra.
  • Para 3: 3\in B, então entra.
  • Para 4: 4\in B, então entra.
Portanto
A\cap B=\{3,4\}.

Passo 3

Agora entender a união com o conjunto vazio. Por definição,
X\cup Y=\{x \mid x\in X \text{ ou } x\in Y\}.
O conjunto vazio \varnothing não tem elementos. Logo, ao unir qualquer conjunto X com \varnothing não se acrescenta nada: X\cup\varnothing=X. Essa é uma propriedade básica das operações com conjuntos (identidade da união).

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso:
(A\cap B)\cup\varnothing=\{3,4\}\cup\varnothing=\{3,4\}.
Intuitivamente: já tínhamos os elementos \{3,4\}; como \varnothing não tem elementos novos, o resultado não muda.

Resposta

\{3,4\}

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