Sejam
e
conjuntos e
uma função. Mostre que
é injetora se e somente se
Aqui,
.
Passo 1
O enunciado fornece conjuntos
e
e uma função
. Precisa-se mostrar que
é injetora se, e somente se, para todos
vale
O conteúdo aqui envolve a definição de injetividade e propriedades da imagem de diferença de conjuntos.
Passo 2
Suponha que
seja injetora. Vamos provar a inclusão
Seja
. Então existe
tal que
. Logo
, portanto
. Além disso
e, como
é injetora, não pode existir
com
. Segue que
e, consequentemente,
.
Passo 3
Ainda sob a injetividade de
, provemos a recíproca
Seja
. Então existe
com
, e não existe
tal que
. Isso implica que
, ou seja,
. Portanto
. Assim, sob injetividade,
Passo 4
Para a implicação inversa, suponha que
não seja injetora. Então existem
,
, tais que
. Tome
Temos
e
Logo
o que contradiz a hipótese de igualdade para todo
. Assim, se
para todos
,
deve ser injetora.
Resposta
Portanto,
é injetora se, e somente se,
para todos
.