Sejam A e B conjuntos e f: A \longrightarrow B uma função. Mostre que f é injetora se e somente se
f(X \backslash Y)=f(X) \backslash f(Y), \quad \forall X, Y \subset A
Aqui, X \backslash Y=\{x \in X ; x \notin Y\}.

Passo 1

O enunciado fornece conjuntos A e B e uma função \,f\colon A\to B. Precisa-se mostrar que f é injetora se, e somente se, para todos X,Y\subset A vale
f(X\backslash Y)=f(X)\backslash f(Y).
O conteúdo aqui envolve a definição de injetividade e propriedades da imagem de diferença de conjuntos.

Passo 2

Suponha que f seja injetora. Vamos provar a inclusão
f(X\backslash Y)\subset f(X)\backslash f(Y).
Seja b\in f(X\backslash Y). Então existe x\in X\backslash Y tal que f(x)=b. Logo x\in X, portanto b\in f(X). Além disso x\notin Y e, como f é injetora, não pode existir y\in Y com f(y)=b. Segue que b\notin f(Y) e, consequentemente, b\in f(X)\backslash f(Y).

Passo 3

Ainda sob a injetividade de f, provemos a recíproca
f(X)\backslash f(Y)\subset f(X\backslash Y).
Seja b\in f(X)\backslash f(Y). Então existe x\in X com f(x)=b, e não existe y\in Y tal que f(y)=b. Isso implica que x\notin Y, ou seja, x\in X\backslash Y. Portanto b=f(x)\in f(X\backslash Y). Assim, sob injetividade,
f(X\backslash Y)=f(X)\backslash f(Y).

Passo 4

Para a implicação inversa, suponha que f não seja injetora. Então existem a_1,a_2\in A, a_1\neq a_2, tais que f(a_1)=f(a_2). Tome
X=\{a_1,a_2\},\quad Y=\{a_2\}.
Temos X\backslash Y=\{a_1\} e
f(X)=\{f(a_1),f(a_2)\}=\{f(a_1)\},\quad f(Y)=\{f(a_2)\}=\{f(a_1)\}.
Logo
f(X\backslash Y)=\{f(a_1)\}\neq\emptyset=f(X)\backslash f(Y),
o que contradiz a hipótese de igualdade para todo X,Y. Assim, se f(X\backslash Y)=f(X)\backslash f(Y) para todos X,Y\subset A, f deve ser injetora.

Resposta

Portanto, f é injetora se, e somente se,
f(X\backslash Y)=f(X)\backslash f(Y)
para todos X,Y\subset A.

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