Sega f(x, y)=raiz9-x^2-y^2x+2 y, calcule f(1,2) e deten mine a domínio de f.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função de duas variáveis $ f(x, y) = \frac{\sqrt{9 - x^{2} - y^{2}}}{x + 2y} $. Precisamos calcular o valor dessa função quando $ x = 1 $ e $ y = 2 $, ou seja, encontrar $ f(1, 2) $. Além disso, precisamos determinar o domínio da função, que é o conjunto de todos os pares f(x, y) = raiz9 - x^2 - y^2x + 2y para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções de várias variáveis, radiciação e condições para que frações e raízes sejam válidas.

Passo 2

Vamos começar calculando $ f(1, 2) $. Substituímos $ x $ por 1 e $ y $ por 2 na função:
f(1, 2)

Passo 3

Agora vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente.
Primeiro, calculemos o que está dentro da raiz quadrada:
9 - (1)^2 - (2)^2 = 9 - 1 - 4 = 4
Então, a raiz quadrada fica:
raiz4 = 2
Agora, no denominador:
1 + 2 times 2 = 1 + 4 = 5

Passo 4

Com os valores simplificados, podemos encontrar $ f(1, 2) $:
f(1, 2)

Passo 5

Agora, vamos determinar o domínio da função $ f(x, y) $. Para que a função esteja definida, duas condições devem ser atendidas:
  1. O que está dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero, pois a raiz quadrada de um número negativo não é um número real. Ou seja:
f(x, y)
  1. O denominador não pode ser zero, para evitar divisão por zero. Então:
9 - x^2 - y^2 >= 0

Passo 6

Vamos resolver a primeira condição:
9 - x^2 - y^2 >= 0 implies x^2 + y^2 <= 9
Isto descreve um círculo de raio 3 centrado na origem no plano $ xy $.
A segunda condição é:
xy
Isto descreve uma reta que não pode estar incluída no domínio.

Passo 7

Portanto, o domínio de $ f $ consiste em todos os pontos f que estão dentro ou na fronteira do círculo de raio 3, exceto aqueles que estão sobre a reta $ y = -\frac{x}{2} $.

Resposta

f(1, 2) = 25
O domínio de $ f $ é:
f

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