Sega
, calcule
e deten mine a domínio de
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função de duas variáveis $ f(x, y) = \frac{\sqrt{9 - x^{2} - y^{2}}}{x + 2y} $. Precisamos calcular o valor dessa função quando $ x = 1 $ e $ y = 2 $, ou seja, encontrar $ f(1, 2) $. Além disso, precisamos determinar o domínio da função, que é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções de várias variáveis, radiciação e condições para que frações e raízes sejam válidas.
Passo 2
Vamos começar calculando $ f(1, 2) $. Substituímos $ x $ por 1 e $ y $ por 2 na função:
Passo 3
Agora vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente.
Primeiro, calculemos o que está dentro da raiz quadrada:
Então, a raiz quadrada fica:
Agora, no denominador:
Passo 4
Com os valores simplificados, podemos encontrar $ f(1, 2) $:
Passo 5
Agora, vamos determinar o domínio da função $ f(x, y) $. Para que a função esteja definida, duas condições devem ser atendidas:
- O que está dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero, pois a raiz quadrada de um número negativo não é um número real. Ou seja:
- O denominador não pode ser zero, para evitar divisão por zero. Então:
Passo 6
Vamos resolver a primeira condição:
Isto descreve um círculo de raio 3 centrado na origem no plano $ xy $.
A segunda condição é:
Isto descreve uma reta que não pode estar incluída no domínio.
Passo 7
Portanto, o domínio de $ f $ consiste em todos os pontos
que estão dentro ou na fronteira do círculo de raio 3, exceto aqueles que estão sobre a reta $ y = -\frac{x}{2} $.
Resposta
O domínio de $ f $ é: