Sejam a e b constantes nåo nulas. Considere os polinômios p(x)=a x^{4}-b x^{2}+2 x+1 e g(x)=2 x^{1}-3 x-1. Faça os itens abaixo.
(i) Apresente todos os detalhes para obter uma relação entre a e b de modo que p(-1)=0. Lembre-se de que (-1)^{4}=(-1)^{2}=1 e 2(-1)=-2.
(ii) Note que g(-1)=0. Use essa informação para obter uma fatoração de g(x).
(2.0 pontos)

Passo 1

O enunciado dá os polinômios p(x)=a x^{4}-b x^{2}+2 x+1 e g(x)=2 x^{1}-3 x-1 e pede duas coisas:
  1. (i) Obter uma relação entre a e b tal que p(-1)=0. O enunciado lembra que (-1)^{4}=(-1)^{2}=1 e 2(-1)=-2.
  2. (ii) Usar a informação de que g(-1)=0 para obter uma fatoração de g(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Queremos avaliar p(x) em x=-1.
  • Sabemos que (-1)^{4}=1, (-1)^{2}=1, 2(-1)=-2.
  • Sabemos que g(-1)=0, o que indica que x+1 deve ser um fator (veremos a razão disso em passos seguintes).

Passo 2

Como primeiro passo prático, explico como avaliar um polinômio em um número: “avaliar” significa substituir x por esse número e calcular. Para p(x) vamos substituir x=-1. Usando as potências dadas:
p(-1)=a\cdot(-1)^{4}-b\cdot(-1)^{2}+2\cdot(-1)+1.
Agora substituímos (-1)^{4}=1, (-1)^{2}=1 e 2(-1)=-2 para simplificar.

Passo 3

Fazendo as substituições do passo anterior obtemos:
p(-1)=a\cdot 1 - b\cdot 1 + (-2) + 1.
Agora somamos os termos constantes -2+1=-1, então
p(-1)=a - b - 1.

Passo 4

O enunciado pede que p(-1)=0. Portanto impomos essa condição na expressão do passo anterior:
a - b - 1 = 0.
Isolando a,
a = b + 1.
Essa é a relação entre a e b pedida: para que p(-1)=0 devemos ter a=b+1. Observação pedagógica: ao avaliar polinômios é comum reduzir potências e combinar termos semelhantes; depois impomos a igualdade a zero e resolvemos para a(s) incógnita(s).

Passo 5

Agora vamos à fatoração de g(x). Primeiro simplificamos a expressão dada para g(x):
g(x)=2 x^{1}-3 x-1.
Como x^{1}=x, combinamos os termos em x:
g(x)=2x-3x-1 = -x-1.

Passo 6

Usamos o Teorema do Resto / Teorema do Fator: se um polinômio f(x) satisfaz f\text{(c)}=0, então (x-c) é um fator de f(x). Aqui sabemos que g(-1)=0, logo x-(-1)=x+1 é fator de g(x). Como g(x)=-x-1 é polinômio de grau 1, ele deve ser igual a (x+1) vezes uma constante. Fatorando -x-1 tirando -1 em evidência:
g(x) = -x-1 = -\,(x+1).
Portanto a fatoração procurada é g(x)=-(x+1). Verificação rápida: multiplicando -1 por (x+1) volta-se a -x-1, correto.

Resposta

a=b+1
g(x)=-(x+1)

Exercícios relacionados