Sejam a e
constantes nåo nulas. Considere os polinômios
e
. Faça os itens abaixo.
(i) Apresente todos os detalhes para obter uma relação entre
e
de modo que
. Lembre-se de que
e
.
(ii) Note que
. Use essa informação para obter uma fatoração de
.
(2.0 pontos)
(i) Apresente todos os detalhes para obter uma relação entre
(ii) Note que
(2.0 pontos)
Passo 1
O enunciado dá os polinômios
e
e pede duas coisas:
- (i) Obter uma relação entre
e tal que . O enunciado lembra que e . - (ii) Usar a informação de que
para obter uma fatoração de .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Queremos avaliar
em . - Sabemos que
, , . - Sabemos que
, o que indica que deve ser um fator (veremos a razão disso em passos seguintes).
Passo 2
Como primeiro passo prático, explico como avaliar um polinômio em um número: “avaliar” significa substituir
por esse número e calcular. Para
vamos substituir
. Usando as potências dadas:
Agora substituímos
,
e
para simplificar.
Passo 3
Fazendo as substituições do passo anterior obtemos:
Agora somamos os termos constantes
, então
Passo 4
O enunciado pede que
. Portanto impomos essa condição na expressão do passo anterior:
Isolando
,
Essa é a relação entre
e
pedida: para que
devemos ter
. Observação pedagógica: ao avaliar polinômios é comum reduzir potências e combinar termos semelhantes; depois impomos a igualdade a zero e resolvemos para a(s) incógnita(s).
Passo 5
Agora vamos à fatoração de
. Primeiro simplificamos a expressão dada para
:
Como
, combinamos os termos em
:
Passo 6
Usamos o Teorema do Resto / Teorema do Fator: se um polinômio
satisfaz
, então
é um fator de
. Aqui sabemos que
, logo
é fator de
. Como
é polinômio de grau
, ele deve ser igual a
vezes uma constante. Fatorando
tirando
em evidência:
Portanto a fatoração procurada é
. Verificação rápida: multiplicando
por
volta-se a
, correto.