Considere a função real
, onde
e
são constantes e
é uma variável real. O objetivo é o seguinte: atribuir um valor para
. Porém, o denominador da função
será igual a zero se
. Essa função
terá uma indeterminação do tipo
, em
, se
. Para cumprir o objetivo, faça os itens abaixo.
(i) Fatore o numerador e o denominador da função
e elimine o fator comum
, supondo que
é diferente de -1 . Seja
a forma fatorada obtida anteriormente. Obtenha o valor de
. Observação:
.
(1.5 ponto)
(ii) No item (i), suponha que
. Obtenha os valores de
e
.
(1.5 ponto) Observação: se
, então dizemos que a função
é contínua em
.
(i) Fatore o numerador e o denominador da função
(1.5 ponto)
(ii) No item (i), suponha que
(1.5 ponto) Observação: se
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado.
- Dada a função
, onde e são constantes e é variável real. - Queremos atribuir um valor para
, mas o denominador vale zero em , logo há risco de indeterminação. - O enunciado já nos avisa que a função terá indeterminação do tipo
em se . Ou seja, quando o numerador também zera em . - Itens a resolver:
(i) Fatorear numerador e denominador e eliminar o fator comum, supondo . Denominar a forma fatorada resultante por . Calcular . Observação: .
(ii) Supondo que, obter os valores de e , sabendo que .
Passo 2
Entendendo por que precisamos de um fator
: condição de indeterminação.
- Para ter indeterminação
em precisamos que tanto numerador quanto denominador sejam zero em . - Avaliando o denominador em
: logo é fator do denominador. - Avaliando o numerador em
: Para zerar o numerador em precisamos de , isto é . Esta é a condição dada no enunciado. A partir daqui assumimos .
Passo 3
Fatorando o denominador por divisão sintética (ou divisão por
).
- Denominador:
. - Dividindo por
(raiz ), podemos usar divisão sintética com coeficientes : - trazemos
; - multiplicamos por
: , somamos ao próximo coeficiente obtendo ; - multiplicamos por
: , somamos a obtendo ; - multiplicamos por
: , somamos a obtendo (resto).
- trazemos
- O quociente tem coeficientes
, isto é o polinômio . - Portanto, fatoração do denominador:
Passo 4
Fatorando o numerador por divisão sintética, usando a condição
.
- Numerador:
. Escrevemos os coeficientes para divisão por (raiz ): . - Divisão sintética com
: - trazemos
; - multiplicamos por
: , somamos ao próximo coeficiente obtendo ; - multiplicamos por
: , somamos a obtendo ; - multiplicamos por
: , somamos a obtendo ; - multiplicamos por
: , somamos a obtendo (resto).
- trazemos
- O resto é
, que é zero justamente sob a condição . Logo também é fator do numerador quando assumimos . - O quociente (coeficientes) é
. Assim, o numerador fatorado é - Aplicando
nas entradas do quociente: Então o quociente simplifica para . Portanto a fatoração, sob , fica
Passo 5
Construindo
(cancelando o fator comum) e justificando o uso da substituição para o limite.
- Como
é fator comum em numerador e denominador (sob ), e assumindo para cancelar, definimos - Observação teórica rápida e útil para a prova: quando cancelamos um fator que é zero apenas em um ponto isolado (
), obtemos uma função idêntica a para todo . Então desde que seja bem definida em (o que será, já que o denominador de não zero em , como vamos verificar).
Passo 6
Calcular
explicitamente.
- Substituímos
em numerador e denominador de . - Numerador:
- Denominador:
- Portanto
- Observação: o denominador é
, então está bem definido.
Passo 7
Resolver o item (ii): se
, encontrar
e
.
- De
e da condição dada , igualamos: - Multiplicando ambos os lados por
: - Usando
, obtemos . Substituindo : - Assim temos os valores de
e .
Resposta
(i)
(ii)