Considere a função real q(x)=\frac{a x^{4}-b x^{2}+2 x+1}{2 x^{3}-3 x-1}, onde a e b são constantes e x é uma variável real. O objetivo é o seguinte: atribuir um valor para q(-1). Porém, o denominador da função q será igual a zero se x=-1. Essa função q terá uma indeterminação do tipo \frac{0}{0}, em x=-1, se a-b=1. Para cumprir o objetivo, faça os itens abaixo.
(i) Fatore o numerador e o denominador da função q e elimine o fator comum (x+1), supondo que x é diferente de -1 . Seja \mathrm{Q}(x) a forma fatorada obtida anteriormente. Obtenha o valor de Q(-1). Observação: \lim _{x \rightarrow-1} q(x)=Q(-1).
(1.5 ponto)
(ii) No item (i), suponha que Q(-1)=\frac{\pi}{3}. Obtenha os valores de a e b.
(1.5 ponto) Observação: se q(-1)=Q(-1), então dizemos que a função q é contínua em x=-1.

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado.
  • Dada a função \displaystyle q(x)=\frac{a x^{4}-b x^{2}+2 x+1}{2 x^{3}-3 x-1}, onde a e b são constantes e x é variável real.
  • Queremos atribuir um valor para q(-1), mas o denominador vale zero em x=-1, logo há risco de indeterminação.
  • O enunciado já nos avisa que a função terá indeterminação do tipo \frac{0}{0} em x=-1 se \displaystyle a-b=1. Ou seja, quando \displaystyle a-b=1 o numerador também zera em x=-1.
  • Itens a resolver:
    (i) Fatorear numerador e denominador e eliminar o fator comum (x+1), supondo x\neq-1. Denominar a forma fatorada resultante por \mathrm{Q}(x). Calcular \mathrm{Q}(-1). Observação: \lim_{x\to-1} q(x)=\mathrm{Q}(-1).
    (ii) Supondo que \mathrm{Q}(-1)=\frac{\pi}{3}, obter os valores de a e b, sabendo que \displaystyle a-b=1.

Passo 2

Entendendo por que precisamos de um fator (x+1): condição de indeterminação.
  • Para ter indeterminação \frac{0}{0} em x=-1 precisamos que tanto numerador quanto denominador sejam zero em x=-1.
  • Avaliando o denominador em x=-1: 2(-1)^3-3(-1)-1=-2+3-1=0,logo x+1 é fator do denominador.
  • Avaliando o numerador em x=-1: a(-1)^4-b(-1)^2+2(-1)+1=a-b-2+1=a-b-1.Para zerar o numerador em -1 precisamos de \displaystyle a-b-1=0, isto é \displaystyle a-b=1. Esta é a condição dada no enunciado. A partir daqui assumimos \displaystyle a-b=1.

Passo 3

Fatorando o denominador por divisão sintética (ou divisão por (x+1)).
  • Denominador: \displaystyle 2x^3-3x-1.
  • Dividindo por (x+1) (raiz -1), podemos usar divisão sintética com coeficientes 2,0,-3,-1:
    • trazemos 2;
    • multiplicamos por -1: -2, somamos ao próximo coeficiente 0 obtendo -2;
    • multiplicamos por -1: 2, somamos a -3 obtendo -1;
    • multiplicamos por -1: 1, somamos a -1 obtendo 0 (resto).
  • O quociente tem coeficientes 2,-2,-1, isto é o polinômio 2x^2-2x-1.
  • Portanto, fatoração do denominador: 2x^3-3x-1=(x+1)\,(2x^2-2x-1).

Passo 4

Fatorando o numerador por divisão sintética, usando a condição \displaystyle a-b=1.
  • Numerador: \displaystyle a x^{4}-b x^{2}+2 x+1. Escrevemos os coeficientes para divisão por (x+1) (raiz -1): a,0,-b,2,1.
  • Divisão sintética com -1:
    • trazemos a;
    • multiplicamos por -1: -a, somamos ao próximo coeficiente 0 obtendo -a;
    • multiplicamos por -1: a, somamos a -b obtendo a-b;
    • multiplicamos por -1: -(a-b), somamos a 2 obtendo 2-(a-b);
    • multiplicamos por -1: -(2-(a-b))=-2+a-b, somamos a 1 obtendo 1-2+a-b=a-b-1 (resto).
  • O resto é a-b-1, que é zero justamente sob a condição \displaystyle a-b=1. Logo (x+1) também é fator do numerador quando assumimos \displaystyle a-b=1.
  • O quociente (coeficientes) é a,\,-a,\,a-b,\,2-a+b. Assim, o numerador fatorado é a x^{4}-b x^{2}+2 x+1=(x+1)\bigl(a x^{3}-a x^{2}+(a-b)x+(2-a+b)\bigr).
  • Aplicando \displaystyle a-b=1 nas entradas do quociente: a-b=1,\qquad 2-a+b=2-(a-b)=2-1=1.Então o quociente simplifica para a x^{3}-a x^{2}+1\cdot x+1. Portanto a fatoração, sob \displaystyle a-b=1, fica a x^{4}-b x^{2}+2 x+1=(x+1)\bigl(a x^{3}-a x^{2}+x+1\bigr).

Passo 5

Construindo \mathrm{Q}(x) (cancelando o fator comum) e justificando o uso da substituição para o limite.
  • Como (x+1) é fator comum em numerador e denominador (sob \displaystyle a-b=1), e assumindo x\neq-1 para cancelar, definimos \mathrm{Q}(x)=\frac{a x^{3}-a x^{2}+x+1}{2x^{2}-2x-1}.
  • Observação teórica rápida e útil para a prova: quando cancelamos um fator que é zero apenas em um ponto isolado ( x=-1), obtemos uma função \mathrm{Q}(x) idêntica a q(x) para todo x\neq-1. Então \lim_{x\to-1} q(x)=\lim_{x\to-1} \mathrm{Q}(x)=\mathrm{Q}(-1),desde que \mathrm{Q} seja bem definida em -1 (o que será, já que o denominador de \mathrm{Q} não zero em -1, como vamos verificar).

Passo 6

Calcular \mathrm{Q}(-1) explicitamente.
  • Substituímos x=-1 em numerador e denominador de \mathrm{Q}.
  • Numerador: a(-1)^3 - a(-1)^2 + (-1) + 1 = -a - a -1 +1 = -2a.
  • Denominador: 2(-1)^2 -2(-1) -1 = 2 + 2 -1 = 3.
  • Portanto \mathrm{Q}(-1)=\frac{-2a}{3}=-\frac{2a}{3}.
  • Observação: o denominador é 3\neq0, então \mathrm{Q}(-1) está bem definido.

Passo 7

Resolver o item (ii): se \mathrm{Q}(-1)=\frac{\pi}{3}, encontrar a e b.
  • De \mathrm{Q}(-1)=-\dfrac{2a}{3} e da condição dada \mathrm{Q}(-1)=\dfrac{\pi}{3}, igualamos: -\frac{2a}{3}=\frac{\pi}{3}.
  • Multiplicando ambos os lados por 3: -2a=\pi \quad\Rightarrow\quad a=-\frac{\pi}{2}.
  • Usando \displaystyle a-b=1, obtemos b=a-1. Substituindo a: b=-\frac{\pi}{2}-1.
  • Assim temos os valores de a e b.

Resposta

(i) \displaystyle Q(-1)=-\dfrac{2a}{3}
(ii) \displaystyle a=-\dfrac{\pi}{2},\quad b=-\dfrac{\pi}{2}-1

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