Find the indefinite integral.
15. \frac{1}{2} \theta^{2}+\csc \theta+C

Passo 1

O enunciado pede encontrar a integral indefinida (uma primitiva) cuja forma final é
\frac{1}{2}\theta^{2}+\csc\theta+C.
Partindo dessa forma final, vamos considerar o integrando que gera essa primitiva por diferenciação, ou seja, queremos resolver
\int \bigl(\theta - \csc\theta\cot\theta\bigr)\,d\theta,
pois a derivada de \tfrac{1}{2}\theta^{2} é \theta e a derivada de \csc\theta é -\csc\theta\cot\theta. Assim, a tarefa é calcular a integral acima passo a passo.

Passo 2

Integramos termo a termo. Primeiro termo: \int \theta\,d\theta.
Regra que usamos (explicada): a regra da potência diz que, para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui \theta é \theta^{1}, então n=1. Aplicando a regra,
\int \theta\,d\theta=\frac{\theta^{1+1}}{1+1}=\frac{\theta^{2}}{2}.
Interpretação prática: somamos 1 ao expoente e dividimos pelo novo expoente — fácil de lembrar.

Passo 3

Segundo termo: -\int \csc\theta\cot\theta\,d\theta.
Reconhecendo a derivada: lembramos (ou derivamos) que
\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}.
Para ver a derivada de \csc\theta explicitamente, derivamos por regra do quociente ou pela regra da cadeia: se g(\theta)=\sin\theta então \csc\theta=(g(\theta))^{-1} e
\frac{d}{d\theta}\csc\theta=\frac{d}{d\theta}(\sin\theta)^{-1}=-1\cdot(\sin\theta)^{-2}\cdot\cos\theta=-\frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}.
Agora note que
-\frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}=-\left(\frac{1}{\sin\theta}\right)\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)=-\csc\theta\cot\theta.
Logo
\frac{d}{d\theta}\csc\theta=-\csc\theta\cot\theta.
Portanto \csc\theta\cot\theta é (menos) a derivada de \csc\theta, e a integral de -\csc\theta\cot\theta é \csc\theta:
-\int \csc\theta\cot\theta\,d\theta=\csc\theta.
Explicação simples: como a derivada de \csc\theta é -\csc\theta\cot\theta, a integral do contrário é \csc\theta.

Passo 4

Juntando os dois resultados (integração termo a termo):
\int \bigl(\theta - \csc\theta\cot\theta\bigr)\,d\theta =\int \theta\,d\theta - \int \csc\theta\cot\theta\,d\theta =\frac{\theta^{2}}{2}+\csc\theta + C.
Aqui C é a constante arbitrária de integração, sempre presente em integrais indefinidas.

Passo 5

Verificação rápida (muito útil na prova): derivando o resultado obtemos
\frac{d}{d\theta}\!\left(\frac{\theta^{2}}{2}+\csc\theta+C\right)=\theta + \bigl(-\csc\theta\cot\theta\bigr)=\theta-\csc\theta\cot\theta,
que é exatamente o integrando que assumimos. Então a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\theta^{2}+\csc\theta+C

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