Find the indefinite integral.
15.
15.
Passo 1
O enunciado pede encontrar a integral indefinida (uma primitiva) cuja forma final é
Partindo dessa forma final, vamos considerar o integrando que gera essa primitiva por diferenciação, ou seja, queremos resolver
pois a derivada de
é
e a derivada de
é
. Assim, a tarefa é calcular a integral acima passo a passo.
Passo 2
Integramos termo a termo. Primeiro termo:
.
Regra que usamos (explicada): a regra da potência diz que, para
,
Aqui
é
, então
. Aplicando a regra,
Interpretação prática: somamos 1 ao expoente e dividimos pelo novo expoente — fácil de lembrar.
Passo 3
Segundo termo:
.
Reconhecendo a derivada: lembramos (ou derivamos) que
Para ver a derivada de
explicitamente, derivamos por regra do quociente ou pela regra da cadeia: se
então
e
Agora note que
Logo
Portanto
é (menos) a derivada de
, e a integral de
é
:
Explicação simples: como a derivada de
é
, a integral do contrário é
.
Passo 4
Juntando os dois resultados (integração termo a termo):
Aqui
é a constante arbitrária de integração, sempre presente em integrais indefinidas.
Passo 5
Verificação rápida (muito útil na prova): derivando o resultado obtemos
que é exatamente o integrando que assumimos. Então a primitiva está correta.