Aplique o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema
em
$$
c) X^{\prime}=\left(
\right) X+\left(
\right) e^{4 t} \
em
c) X^{\prime}=\left(
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema não‐homogêneo X’=AX+be^{4t} em ℝ usando o método dos coeficientes indeterminados. O conteúdo aqui é resolução de sistema linear de EDOs com parte homogênea e um termo forçante exponencial. Vamos precisar: (a) achar a solução geral homogênea via autovalores e autovetores de A, (b) supor uma solução particular da forma X_p=v e^{4t} e determinar v.
Passo 2
Para a parte homogênea, achamos os autovalores de A triangular: λ₁=1, λ₂=2, λ₃=−5. Em seguida, resolvemos (A−λI)v=0 para cada λ:
• Para λ₁=1 temos v₁=(1,0,0)ᵀ
• Para λ₂=2 temos v₂=(1,1,0)ᵀ
• Para λ₃=−5, resolvendo (A+5I)v=0, obtemos v₃=(−2/3,−3,7)ᵀ
• Para λ₁=1 temos v₁=(1,0,0)ᵀ
• Para λ₂=2 temos v₂=(1,1,0)ᵀ
• Para λ₃=−5, resolvendo (A+5I)v=0, obtemos v₃=(−2/3,−3,7)ᵀ
Passo 3
Logo a solução geral homogênea é
Passo 4
Para a parte particular, assumimos X_p=v e^{4t} com v=(v_1,v_2,v_3)ᵀ constante. Substituindo em X’=AX+be^{4t} e cancelando e^{4t}, obtemos
isto é
Passo 5
Escrevendo 4I−A e resolvendo o sistema triangular:
e resolvendo o sistema:
Passo 6
Da última equação v_3=2/9. Substituindo na segunda: 2v_2-3(2/9)=-1 ⇒ v_2=-1/6. Na primeira: 3v_1-(-1/6)-(2/9)=1 ⇒ v_1=19/54.
Portanto a parte particular é
Portanto a parte particular é
Somando homogênea e particular, obtemos a solução geral. A solução geral do sistema é a soma de X_h e X_p.
Resposta
$$
X(t)=C_1 e^{t}\begin{pmatrix}1\0\0\end{pmatrix}+C_2 e^{2t}\begin{pmatrix}1\1\0\end{pmatrix}+C_3 e{-5t}\begin{pmatrix}-\tfrac23\-3\7\end{pmatrix}+e{4t}\begin{pmatrix}19/54\-1/6\2/9\end{pmatrix}.
$$
X(t)=C_1 e^{t}\begin{pmatrix}1\0\0\end{pmatrix}+C_2 e^{2t}\begin{pmatrix}1\1\0\end{pmatrix}+C_3 e{-5t}\begin{pmatrix}-\tfrac23\-3\7\end{pmatrix}+e{4t}\begin{pmatrix}19/54\-1/6\2/9\end{pmatrix}.
$$