Aplique o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema
em (-infty,+infty)
$$
c) X^{\prime}=\left( \right) X+\left( rrr 1 & 1 & 1 0 & 2 & 3 0 & 0 & -5 \right) e^{4 t} \

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema não‐homogêneo X’=AX+be^{4t} em ℝ usando o método dos coeficientes indeterminados. O conteúdo aqui é resolução de sistema linear de EDOs com parte homogênea e um termo forçante exponencial. Vamos precisar: (a) achar a solução geral homogênea via autovalores e autovetores de A, (b) supor uma solução particular da forma X_p=v e^{4t} e determinar v.

Passo 2

Para a parte homogênea, achamos os autovalores de A triangular: λ₁=1, λ₂=2, λ₃=−5. Em seguida, resolvemos (A−λI)v=0 para cada λ:
• Para λ₁=1 temos v₁=(1,0,0)ᵀ
• Para λ₂=2 temos v₂=(1,1,0)ᵀ
• Para λ₃=−5, resolvendo (A+5I)v=0, obtemos v₃=(−2/3,−3,7)ᵀ

Passo 3

Logo a solução geral homogênea é
Xh=C1 e^t100+C2 e^2t110+C3 e^-5t-tfrac23-37

Passo 4

Para a parte particular, assumimos X_p=v e^{4t} com v=(v_1,v_2,v_3)ᵀ constante. Substituindo em X’=AX+be^{4t} e cancelando e^{4t}, obtemos
4v=Av+b
isto é
(4I-A)v=b

Passo 5

Escrevendo 4I−A e resolvendo o sistema triangular:
(4I-A)=3&-1&-10&2&-30&0&9, b=1-12,
e resolvendo o sistema:
3v1 - v2 - v3=1, 2v2 -3v3=-1, 9v3=2

Passo 6

Da última equação v_3=2/9. Substituindo na segunda: 2v_2-3(2/9)=-1 ⇒ v_2=-1/6. Na primeira: 3v_1-(-1/6)-(2/9)=1 ⇒ v_1=19/54.
Portanto a parte particular é
Xp= e^4t19/54-1/62/9
Somando homogênea e particular, obtemos a solução geral. A solução geral do sistema é a soma de X_h e X_p.

Resposta

$$
X(t)=C_1 e^{t}\begin{pmatrix}1\0\0\end{pmatrix}+C_2 e^{2t}\begin{pmatrix}1\1\0\end{pmatrix}+C_3 e{-5t}\begin{pmatrix}-\tfrac23\-3\7\end{pmatrix}+e{4t}\begin{pmatrix}19/54\-1/6\2/9\end{pmatrix}.
$$

Exercícios relacionados