Sejam 
  um domínio de fatoração única, 
  o corpo de frações de 
  e 
  um polinômio. Mostre que se 
  é redutível sobre 
 , então 
  é redutível sobre 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que se um polinômio 
  em 
  é redutível sobre o corpo de frações 
 , então ele também é redutível sobre 
 . Aqui, 
  é um domínio de fatoração única (UFD). Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como domínio de fatoração única, corpo de frações, e o que significa um polinômio ser redutível.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um domínio de fatoração única (UFD). É um anel onde qualquer elemento pode ser escrito de forma única como produto de elementos irreduzíveis, até unidades e ordem. Isso é importante porque facilita a análise de fatores em polinômios.
Passo 3
O corpo de frações 
  de 
  é basicamente o conjunto de todas as frações onde o numerador e o denominador estão em 
 , com o denominador diferente de zero. É o menor corpo que contém 
 .
Passo 4
Agora, dizer que 
  é redutível sobre 
  significa que podemos escrever 
  como o produto de dois polinômios de grau menor que o de 
  em 
 . Vamos chamar esses polinômios de 
  e 
 , então:
Passo 5
Como 
  e 
  estão em 
 , podemos escrever seus coeficientes como frações cuenos numeradores e denominadores estão em 
 . Vamos multiplicar 
  e 
  por elementos de 
  para que todos os coeficientes fiquem em 
 . Isso é possível porque 
  é um UFD.
Passo 6
Depois de ajustar 
  e 
  para que seus coeficientes estejam em 
 , temos que 
  também pode ser escrito como produto de dois polinômios em 
  com grau menor. Portanto, 
  é redutível sobre 
 .
Resposta
Portanto, mostramos que se 
  é redutível sobre 
 , então ele também é redutível sobre 
 .