Demonstre que o polinômio 
  é irredutível sobre 
 .
Dica: Divida em dois casos: 
  ímpar e 
  par. Depois, use a questão 5 para mostrar que se 
 , então 
  ou 
 .
Dica: Divida em dois casos:
Passo 1
Então, a gente precisa mostrar que o polinômio 
  é irredutível sobre os números inteiros 
 . Isso envolve entender sobre polinômios e o que significa eles serem irredutíveis, ou seja, não poderem ser fatorados em polinômios de menor grau com coeficientes inteiros. Vamos usar a dica que separa os casos quando 
  é ímpar e quando 
  é par, além de explorar algumas propriedades dos polinômios para provar a irredutibilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um polinômio irredutível. Um polinômio com coeficientes inteiros é irredutível sobre 
  se ele não pode ser escrito como o produto de dois polinômios de grau menor que ele, também com coeficientes inteiros. Ou seja, se tentarmos fatorar 
  em 
 , um dos fatores 
  ou 
  deve ser um polinômio constante, ou seja, uma unidade em 
  (como 1 ou -1).
Passo 3
Vamos considerar primeiro o caso em que 
  é ímpar. Se assumirmos que 
  pode ser fatorado como 
 , onde 
  e 
  têm grau menor que 
 , então de acordo com a dica, 
  ou 
  deve ser uma unidade em 
 . Isso significa que o polinômio não pode ser fatorado de maneira não trivial, o que mostra que 
  é irredutível quando 
  é ímpar.
Passo 4
Agora, vamos considerar o caso em que 
  é par. A abordagem é similar: assumimos que 
  com 
  e 
  de grau menor que 
 . Novamente, usando a dica, concluímos que um dos fatores deve ser uma unidade em 
 , o que significa que 
  não pode ser fatorado de maneira não trivial. Portanto, 
  também é irredutível quando 
  é par.
Resposta
Assim, mostramos que para qualquer número natural 
 , seja ele ímpar ou par, o polinômio 
  é irredutível sobre 
 .