a) Calcule os estimadores de verossimilhança para esta amostra.
b) Calcule um teste T^{2} onde a a hipótese nula é \mu_{0}^{\top}=\left[\begin{array}{ll}9 & 5\end{array}\right] com \alpha=0.10 e também para \alpha=0.05.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra aleatória de tamanho n=3 de uma Normal bivariada, com as observações (cada linha é uma observação 2‑dimensional):
(a) Calcular os estimadores de verossimilhança (MLE) para a média vetorial \mu e para a matriz de covariância \Sigma.
(b) Calcular um teste T^2 (Hotelling) para a hipótese nula \mu_0 = \begin{pmatrix}9 \\[2pt] 5\end{pmatrix}, com níveis de significância \alpha=0{,}10 e \alpha=0{,}05.
Informações relevantes dadas:
Tamanho da amostra n=3.
Dimensão p=2.
Observações explicitadas na matriz X.
Vetor hipótese \mu_0=(9,5)^\top.
A partir daqui vamos calcular passo a passo os estimadores e o teste T^2.]
Passo 2
Estimador de verossimilhança para a média vetorial \mu:
Teoria (mini‑aula): para uma amostra i.i.d. de uma Normal multivariada, o MLE da média é a média amostral. Isso significa somar cada componente sobre as observações e dividir por n.
Observação: este é o MLE (usa divisor n); o estimador insesgado costuma usar divisor n-1 e é chamado de matriz amostral S. Para o teste T^2 usaremos S com divisor n-1 (explico por quê mais adiante).
Escolher a regra de rejeição (crítico) e comparar:
Usamos a forma equivalente: rejeitar H_0 se
T^2 > \frac{p(n-1)}{n-p}\;F_{p,\;n-p;1-\alpha}.
Com p=2, n=3 temos o fator multiplicativo 4. Precisamos, portanto, de F_{2,1;1-\alpha} para \alpha=0{,}10 e \alpha=0{,}05.
Agora uma forma prática para obter F_{2,1;1-\alpha} usa a relação entre quantis F e a distribuição t quando um dos graus é 1 ou 2. Em particular, para F_{1,\nu} vale F_{1,\nu;\alpha}=\bigl(t_{\nu;(1+\alpha)/2}\bigr)^2. Usando a identidade de reciprocidade dos quantis:
Para \alpha=0{,}10 temos (1+\alpha)/2=0{,}55. Para \nu=2 existe fórmula fechada para t_{2}: se F_T(t)=0{,}5+\dfrac{t}{2\sqrt{2+t^2}}. Igualando a 0{,}55 e resolvendo obtemos (passos algebricos):