Sejam os dados da amostra aleatória de tamanho 3 de uma Normal bivariada abaixo:
X=\left[\begin{array}{cc} 6 & 9 \\\\ 10 & 6 \\\\ 8 & 3 \end{array}\right],
a) Calcule os estimadores de verossimilhança para esta amostra.
b) Calcule um teste T^{2} onde a a hipótese nula é \mu_{0}^{\top}=\left[\begin{array}{ll}9 & 5\end{array}\right] com \alpha=0.10 e também para \alpha=0.05.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória de tamanho n=3 de uma Normal bivariada, com as observações (cada linha é uma observação 2‑dimensional):
X=\begin{pmatrix} 6 & 9\\[4pt] 10 & 6\\[4pt] 8 & 3 \end{pmatrix}.
Perguntas:
  1. (a) Calcular os estimadores de verossimilhança (MLE) para a média vetorial \mu e para a matriz de covariância \Sigma.
  2. (b) Calcular um teste T^2 (Hotelling) para a hipótese nula \mu_0 = \begin{pmatrix}9 \\[2pt] 5\end{pmatrix}, com níveis de significância \alpha=0{,}10 e \alpha=0{,}05.
Informações relevantes dadas:
  • Tamanho da amostra n=3.
  • Dimensão p=2.
  • Observações explicitadas na matriz X.
  • Vetor hipótese \mu_0=(9,5)^\top.
    A partir daqui vamos calcular passo a passo os estimadores e o teste T^2.]

Passo 2

Estimador de verossimilhança para a média vetorial \mu:
  • Teoria (mini‑aula): para uma amostra i.i.d. de uma Normal multivariada, o MLE da média é a média amostral. Isso significa somar cada componente sobre as observações e dividir por n.
  • Fórmula:
\hat\mu = \overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
  • Calculemos componente a componente com os dados: primeira componente: (6+10+8)/3; segunda componente: (9+6+3)/3.
  • Cálculo:
\overline{X}=\begin{pmatrix}\dfrac{6+10+8}{3}\\[6pt]\dfrac{9+6+3}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{24}{3}\\[6pt]\dfrac{18}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\[2pt]6\end{pmatrix}.]

Passo 3

Estimador de verossimilhança para a matriz de covariância \Sigma:
  • Teoria (mini‑aula): o MLE da matriz de covariância em uma Normal multivariada é
\hat\Sigma_{MLE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{X})(x_i-\overline{X})^\top.
Observação: este é o MLE (usa divisor n); o estimador insesgado costuma usar divisor n-1 e é chamado de matriz amostral S. Para o teste T^2 usaremos S com divisor n-1 (explico por quê mais adiante).
  • Vamos calcular as diferenças x_i-\overline{X}:
x_1-\overline{X}=\begin{pmatrix}6\\\ 9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\\ 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\[2pt]3\end{pmatrix}, \quad x_2-\overline{X}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\end{pmatrix}, \quad x_3-\overline{X}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]-3\end{pmatrix}.
  • Calculemos os produtos externos (x_i-\overline{X})(x_i-\overline{X})^\top:
\begin{aligned} &\begin{pmatrix}-2\\[2pt]3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2 & 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 & -6\\[2pt]-6 & 9\end{pmatrix},\\[6pt] &\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 & 0\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix},\\[6pt] &\begin{pmatrix}0\\[2pt]-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & -3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]0 & 9\end{pmatrix}. \end{aligned}
  • Soma dos produtos:
\sum_{i=1}^{3}(x_i-\overline{X})(x_i-\overline{X})^\top =\begin{pmatrix}4+4+0 & -6+0+0\\[4pt]-6+0+0 & 9+0+9\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}8 & -6\\[4pt]-6 & 18\end{pmatrix}.
  • Agora o MLE divide por n=3:
\hat\Sigma_{MLE}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}8 & -6\\[4pt]-6 & 18\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}8/3 & -2\\[4pt]-2 & 6\end{pmatrix}.]

Passo 4

Resumo parcial (resposta da letra a):
  • O MLE da média é \hat\mu=\overline{X}=\begin{pmatrix}8\\[2pt]6\end{pmatrix}.
  • O MLE da matriz de covariância é
\hat\Sigma_{MLE}=\begin{pmatrix}8/3 & -2\\[4pt]-2 & 6\end{pmatrix}.]

Passo 5

Preparação para o teste T^2 (Hotelling):
  • Teoria (mini‑aula): quando a covariância é desconhecida usamos a matriz amostral insesgada S definida por
S=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{X})(x_i-\overline{X})^\top.
  • O estatístico de Hotelling é
T^2=n(\overline{X}-\mu_0)^\top S^{-1}(\overline{X}-\mu_0).
  • Distribuição sob H_0: se os dados são multivariados normais independentes, então
\frac{n-p}{p(n-1)}\,T^2 \sim F_{p,\;n-p}.
Portanto rejeitamos H_0 ao nível \alpha se
\frac{n-p}{p(n-1)}\,T^2 > F_{p,\;n-p;1-\alpha},
ou, equivalentemente, se
T^2 > \frac{p(n-1)}{n-p}\;F_{p,\;n-p;1-\alpha}.
Aqui p=2 e n=3, então \dfrac{n-p}{p(n-1)}=\dfrac{1}{4} e \dfrac{p(n-1)}{n-p}=4.

Passo 6

Calcular S (matriz amostral insesgada) e sua inversa:
  • Já calculámos a soma dos produtos externos:
\sum_{i=1}^{3}(x_i-\overline{X})(x_i-\overline{X})^\top =\begin{pmatrix}8 & -6\\[4pt]-6 & 18\end{pmatrix}.
  • Com n-1=2 obtemos
S=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}8 & -6\\[4pt]-6 & 18\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 & -3\\[4pt]-3 & 9\end{pmatrix}.
  • Para usar T^2 precisamos de S^{-1}. Calculemos a inversa de uma matriz 2\times2: se A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} então
A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}.
  • Determinante de S: \det(S)=4\cdot 9 - (-3)\cdot(-3) =36-9=27.
  • Assim,
S^{-1}=\frac{1}{27}\begin{pmatrix}9 & 3\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 7

Calcular o estatístico T^2:
  • Primeiro o vetor diferença \overline{X}-\mu_0:
\overline{X}-\mu_0=\begin{pmatrix}8\\[2pt]6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}9\\[2pt]5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
  • Agora calculemos T^2=n(\overline{X}-\mu_0)^\top S^{-1}(\overline{X}-\mu_0) com n=3.
  • Primeiro S^{-1}(\overline{X}-\mu_0):
S^{-1}\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\end{pmatrix} =\frac{1}{27}\begin{pmatrix}9 & 3\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\end{pmatrix} =\frac{1}{27}\begin{pmatrix}-9+3\\[4pt]-3+4\end{pmatrix} =\frac{1}{27}\begin{pmatrix}-6\\[2pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2/9\\[2pt]1/27\end{pmatrix}.
  • Em seguida o produto escalar:
(\overline{X}-\mu_0)^\top\left[S^{-1}(\overline{X}-\mu_0)\right] =\begin{pmatrix}-1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2/9\\[2pt]1/27\end{pmatrix} =2/9 + 1/27 = \frac{6+1}{27}=\frac{7}{27}.
  • Finalmente
T^2 = n\cdot\frac{7}{27}=3\cdot\frac{7}{27}=\frac{21}{27}=\frac{7}{9}\approx 0{,}7778.]

Passo 8

Escolher a regra de rejeição (crítico) e comparar:
  • Usamos a forma equivalente: rejeitar H_0 se
T^2 > \frac{p(n-1)}{n-p}\;F_{p,\;n-p;1-\alpha}.
Com p=2, n=3 temos o fator multiplicativo 4. Precisamos, portanto, de F_{2,1;1-\alpha} para \alpha=0{,}10 e \alpha=0{,}05.
  • Agora uma forma prática para obter F_{2,1;1-\alpha} usa a relação entre quantis F e a distribuição t quando um dos graus é 1 ou 2. Em particular, para F_{1,\nu} vale F_{1,\nu;\alpha}=\bigl(t_{\nu;(1+\alpha)/2}\bigr)^2. Usando a identidade de reciprocidade dos quantis:
F_{d_1,d_2;\,1-\alpha}=\frac{1}{F_{d_2,d_1;\,\alpha}},
obtemos para o nosso caso (com \nu=2):
F_{2,1;\,1-\alpha}=\frac{1}{F_{1,2;\,\alpha}} =\frac{1}{\bigl(t_{2;(1+\alpha)/2}\bigr)^2}.
  • Para \alpha=0{,}10 temos (1+\alpha)/2=0{,}55. Para \nu=2 existe fórmula fechada para t_{2}: se F_T(t)=0{,}5+\dfrac{t}{2\sqrt{2+t^2}}. Igualando a 0{,}55 e resolvendo obtemos (passos algebricos):
t_{2;0{,}55}^2=\frac{2}{99}\quad\Rightarrow\quad \bigl(t_{2;0{,}55}\bigr)^2=\frac{2}{99}.
Logo
F_{2,1;0{,}90}=\frac{1}{(t_{2;0{,}55})^2}=\frac{99}{2}=49{,}5.
Multiplicando por 4 para obter o crítico de T^2:
T^2_{\text{crítico},\,\alpha=0{,}10}=4\cdot 49{,}5=198.í
  • Para \alpha=0{,}05 temos (1+\alpha)/2=0{,}525. Resolvendo de forma análoga:
t_{2;0{,}525}^2=\frac{2}{399}\quad\Rightarrow\quad F_{2,1;0{,}95}=\frac{399}{2}=199{,}5,
e assim
T^2_{\text{crítico},\,\alpha=0{,}05}=4\cdot 199{,}5=798.í
  • Observação interpretativa: os críticos são muito grandes porque n é muito pequeno (apenas 3); portanto o teste tem pouca sensibilidade.

Passo 9

Decisão do teste:
  • Estatístico calculado: T^2=\dfrac{7}{9}\approx 0{,}7778.
  • Comparações:
    • Para \alpha=0{,}10: T^2 \approx 0{,}7778 < 198. Não rejeitamos H_0.
    • Para \alpha=0{,}05: T^2 \approx 0{,}7778 < 798. Não rejeitamos H_0.
  • Conclusão: com a amostra pequena disponível, não há evidência para rejeitar a hipótese \mu=\mu_0 em nenhum dos níveis de significância pedidos.

Resposta

(a) \displaystyle \hat\mu=\begin{pmatrix}8\\[2pt]6\end{pmatrix},\quad \hat\Sigma_{MLE}=\begin{pmatrix}8/3 & -2\\[4pt]-2 & 6\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle T^2=\frac{7}{9}\approx 0{,}7778.
\displaystyle Para \alpha=0{,}10: critico T^2_{c}=198 → não rejeita H_0.
\displaystyle Para \alpha=0{,}05: critico T^2_{c}=798 → não rejeita H_0.]

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