Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função potencial
tal que
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo
com
definido para
e
.
O que precisamos fazer é (i) verificar se é conservativo num domínio simplesmente conexo (aqui
serve) e, em caso afirmativo, (ii) encontrar uma função potencial
tal que
.
O que precisamos fazer é (i) verificar se
Passo 2
Para um campo em duas variáveis ser conservativo basta checar
no domínio. Calculemos
Como
, temos
. Logo
é conservativo.
Passo 3
Para achar o potencial
integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 4
Agora impomos
. Temos
Para coincidir com
, exige-se
. Assim
é constante.
Resposta
Uma função potencial é
onde
é constante arbitrária. Portanto
.