Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função potencial f tal que \vec{F}=\vec{\nabla} f.
\vec{F}(x, y)=(\ln y+y / x) \mathbf{i}+(\ln x+x / y) \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo \displaystyle \vec F(x,y) = \bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr) com
P(x,y)=\ln y+\frac yx, \quad Q(x,y)=\ln x+\frac x y,
definido para x>0 e y>0.
O que precisamos fazer é (i) verificar se \vec F é conservativo num domínio simplesmente conexo (aqui \{(x,y):x>0,y>0\} serve) e, em caso afirmativo, (ii) encontrar uma função potencial f tal que \nabla f=\vec F.

Passo 2

Para um campo em duas variáveis ser conservativo basta checar
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\; \frac{\partial Q}{\partial x}
no domínio. Calculemos
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\ln y+\frac yx\Bigr) =\frac1y+\frac1x,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\ln x+\frac x y\Bigr) =\frac1x+\frac1y.
Como \frac1y+\frac1x=\frac1x+\frac1y, temos \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x. Logo \vec F é conservativo.

Passo 3

Para achar o potencial f(x,y) integramos P em relação a x:
f(x,y) =\int \Bigl(\ln y + \frac yx\Bigr)\,dx =\int \ln y\,dx + \int \frac yx\,dx =x\ln y + y\ln x + g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Agora impomos \partial f/\partial y=Q. Temos
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\ln y + y\ln x + g(y)\bigr) =\frac{x}{y} + \ln x + g'(y).
Para coincidir com Q=\ln x + \frac x y, exige-se g'(y)=0. Assim g(y) é constante.

Resposta

Uma função potencial é
f(x,y)=x\ln y+y\ln x + C,
onde C é constante arbitrária. Portanto \vec F=\nabla f.

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