Sejam dados:
  • força \vec{F}_{1}=\{50 \vec{i}-43 \vec{j}+13 \vec{k}\} kN), aplicada no ponto P_{1}(0,3,-2);
  • força \vec{F}_{2}, com intensidade de 70 kN, paralela ao vetor \vec{v}_{2}=3 \vec{i}+2 \vec{j}+5 \vec{k}, aplicada em P_{2}(0,0,3);
  • carga momento \vec{M}=\{-30 \vec{j}\} kNm.
Pede-se (comprimentos em m, forças em kN ):
Calcular o momento de um binário formado pela força \vec{F}_{1} com uma força \vec{F}_{3} aplicada no ponto P_{3}(2,10,-1).

Passo 1

O enunciado fornece:
\vec{F}_{1}=\{50\vec{i}-43\vec{j}+13\vec{k}\}\\ \text{(kN)},\quad P_{1}(0,3,-2)
\vec{F}_{2}\\ \text{(dado no enunciado, não usado aqui)},\quad \vec{M}\\ \text{(dado no enunciado, não usado aqui)}ãã
P_{3}(2,10,-1)
O que se pede:
Calcular o momento do binário formado pela força \vec{F}_{1} com uma força \vec{F}_{3} aplicada em P_{3}. Ou seja, determinar o momento resultante (vetor momento) produzido por esse par de forças.

Passo 2

Entendendo o que é um “binário” (couple) e qual é a força \vec{F}_{3} que forma o binário com \vec{F}_{1}.
Um binário é formado por duas forças de mesma intensidade, paralelas, de sentidos opostos e aplicadas em pontos distintos. Portanto, se uma das forças é \vec{F}_{1}, a outra que forma um binário com ela deve ser
\vec{F}_{3}=-\vec{F}_{1}.
Isso é a definição: forças iguais e opostas geram um momento puro (não há força resultante). Logo vamos tomar
\vec{F}_{3}=-\{50\vec{i}-43\vec{j}+13\vec{k}\}=\{-50\vec{i}+43\vec{j}-13\vec{k}\}\\ \text{(kN)}.

Passo 3

Fórmula do momento total criado pelas duas forças e simplificação para o binário.
Se \vec{r}_{1} é o vetor posição do ponto de aplicação de \vec{F}_{1} e \vec{r}_{3} é o vetor posição do ponto de aplicação de \vec{F}_{3}, o momento total em relação à origem é
\vec{M}_{O}=\vec{r}_{1}\times\vec{F}_{1}+\vec{r}_{3}\times\vec{F}_{3}.
Substituindo \vec{F}_{3}=-\vec{F}_{1} obtemos
\vec{M}_{O}=\vec{r}_{1}\times\vec{F}_{1}-\vec{r}_{3}\times\vec{F}_{1}=(\vec{r}_{1}-\vec{r}_{3})\times\vec{F}_{1}.
Ou seja, o momento do binário pode ser calculado por um único produto vetorial entre o vetor que liga os pontos de aplicação e a força \vec{F}_{1}.
Agora escrevemos os vetores posições (em metros, conforme pede o enunciado):
\vec{r}_{1}=\{0\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k}\},\qquad \vec{r}_{3}=\{2\vec{i}+10\vec{j}-1\vec{k}\}.
Calculamos o vetor diferença
\vec{r}=\vec{r}_{1}-\vec{r}_{3}=\{-2\vec{i}-7\vec{j}-1\vec{k}\}.

Passo 4

Como calcular o produto vetorial \vec{r}\times\vec{F}_{1} passo a passo.
Regra prática (determinante):
\vec{r}\times\vec{F}_{1}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\[4pt] -2 & -7 & -1\\[4pt] 50 & -43 & 13 \end{vmatrix}.
Calculamos cada componente usando a expansão por cofatores:
Componente em \vec{i}:
(\vec{r}\times\vec{F}_{1})_{x}=(-7)\cdot13-(-1)\cdot(-43)= -91-43=-134.
Componente em \vec{j}:
(\vec{r}\times\vec{F}_{1})_{y}=-\big((-2)\cdot13-(-1)\cdot50\big)=-\big(-26+50\big)=-24.
(Observação: cuidado com o sinal do termo central; a fórmula tem um sinal negativo na componente \vec{j}.)
Componente em \vec{k}:
(\vec{r}\times\vec{F}_{1})_{z}=(-2)\cdot(-43)-(-7)\cdot50=86+350=436.
Portanto o momento do binário é o vetor
\vec{M}_{\text{binário}}=\{-134\vec{i}-24\vec{j}+436\vec{k}\}\\ \text{(kN·m)}.á
Breve comentário físico: a unidade é \text{kN}\cdot\text{m} porque multiplicamos posição em metros por força em kN. A direção do vetor momento segue a regra da mão direita (sentido dado pelo produto vetorial).]

Passo 5

Checagem rápida de invariância em relação à origem (opcional mas útil para confiança).
Se calcularmos diretamente \vec{r}_{1}\times\vec{F}_{1}+\vec{r}_{3}\times\vec{F}_{3} com \vec{F}_{3}=-\vec{F}_{1} obteremos exatamente o mesmo vetor acima, confirmando que o momento do binário é independente da escolha da origem (propriedade dos pares de forças iguais e opostas).

Resposta

\vec{M}_{\text{binário}}=\{-134\vec{i}-24\vec{j}+436\vec{k}\}\\ \text{(kN·m)}á

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