Sejam dados:
  • força \vec{F}_{1}=\{50 \vec{i}-43 \vec{j}+13 \vec{k}\} kN), aplicada no ponto P_{1}(0,3,-2);
  • força \vec{F}_{2}, com intensidade de 70 kN, paralela ao vetor \vec{v}_{2}=3 \vec{i}+2 \vec{j}+5 \vec{k}, aplicada em P_{2}(0,0,3);
  • carga momento \vec{M}=\{-30 \vec{j}\} kNm.
Pede-se (comprimentos em m, forças em kN ):
Determinar o momento que \vec{F}_{2} gera em relação à origem O(0,0,0), fornecendo-o em notação vetorial cartesiana.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumido e claro):
  • Força \vec{F}_{1}=\{50\vec{i}-43\vec{j}+13\vec{k}\} kN (informação fornecida, mas não usada neste item).
  • Força \vec{F}_{2} com intensidade 70 kN, paralela ao vetor \vec{v}_{2}=3\vec{i}+2\vec{j}+5\vec{k}, aplicada em P_{2}(0,0,3).
  • Momento \vec{M}=\{-30\vec{j}\} kNm (informação fornecida, mas não necessária para calcular o momento de \vec{F}_2 em relação à origem).
  • Pede-se: determinar o momento que \vec{F}_{2} gera em relação à origem O(0,0,0), em notação vetorial cartesiana (unidades: kN·m, comprimentos em m).

Passo 2

Transformar a direção \vec{v}_{2} em um versor (vetor unitário) para obter a direção da força \vec{F}_{2}.
Primeiro, calculemos o módulo (norma) de \vec{v}_{2}:
\|\vec{v}_{2}\|=\sqrt{3^{2}+2^{2}+5^{2}}=\sqrt{9+4+25}=\sqrt{38}.
Explicação curta: a norma de um vetor \vec{a}=(a_x,a_y,a_z) é \sqrt{a_x^{2}+a_y^{2}+a_z^{2}}; é o comprimento do vetor no espaço.
Portanto o versor \hat{u}_{2} na direção de \vec{v}_{2} é
\hat{u}_{2}=\frac{\vec{v}_{2}}{\|\vec{v}_{2}\|=\sqrt{38}}=\frac{1}{\sqrt{38}}\big(3\vec{i}+2\vec{j}+5\vec{k}\big).

Passo 3

Obter as componentes da força \vec{F}_{2}.
A força tem intensidade 70 kN e direção \hat{u}_{2}, logo
\vec{F}_{2}=70\,\hat{u}_{2}=70\cdot\frac{1}{\sqrt{38}}\big(3\vec{i}+2\vec{j}+5\vec{k}\big).
Distribuindo:
\vec{F}_{2}=\frac{1}{\sqrt{38}}\big(210\vec{i}+140\vec{j}+350\vec{k}\big)\\ \text{kN}.

Passo 4

Recordando a fórmula do momento (aula rápida): o momento de uma força \vec{F} aplicada no ponto com vetor posição \vec{r} em relação à origem é
\vec{M}_{O}=\vec{r}\times\vec{F},
onde `` \times’’ é o produto vetorial. Para componentes, se \vec{r}=(r_x,r_y,r_z) e \vec{F}=(F_x,F_y,F_z), então
\vec{r}\times\vec{F}=(r_yF_z-r_zF_y)\vec{i}-(r_xF_z-r_zF_x)\vec{j}+(r_xF_y-r_yF_x)\vec{k}.
Breve intuição: o produto vetorial dá um vetor perpendicular aos dois fatores e com magnitude igual à área do paralelogramo formado por \vec{r} e \vec{F}; na prática, aplicamos a fórmula componente a componente.

Passo 5

Identificar o vetor posição \vec{r} do ponto de aplicação P_{2} relativo à origem:
\vec{r}=\overrightarrow{OP_{2}}=0\vec{i}+0\vec{j}+3\vec{k}.
Agora aplicamos a fórmula do produto vetorial com \vec{r}=(0,0,3) e \vec{F}_{2}=\dfrac{1}{\sqrt{38}}(210,140,350).
Calculemos cada componente de \vec{M}_{O}=\vec{r}\times\vec{F}_{2}:
M_{x}=r_{y}F_{z}-r_{z}F_{y}=0\cdot F_{z}-3\cdot F_{y}=-3F_{y},
M_{y}=-(r_{x}F_{z}-r_{z}F_{x})=-(0\cdot F_{z}-3\cdot F_{x})=+3F_{x},
M_{z}=r_{x}F_{y}-r_{y}F_{x}=0\cdot F_{y}-0\cdot F_{x}=0.
Essas expressões são simples porque r_x=r_y=0.
Substituindo F_{x}=\dfrac{210}{\sqrt{38}} e F_{y}=\dfrac{140}{\sqrt{38}}:
M_{x}=-3\cdot\frac{140}{\sqrt{38}}=-\frac{420}{\sqrt{38}},
M_{y}=3\cdot\frac{210}{\sqrt{38}}=\frac{630}{\sqrt{38}},
M_{z}=0.

Passo 6

Escrever o resultado final de forma compacta e dar uma aproximação numérica (útil para conferir rapidamente).
Forma exata:
\vec{M}_{O}=\frac{1}{\sqrt{38}}\big(-420\vec{i}+630\vec{j}+0\vec{k}\big)\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Aproximação numérica (para ter uma noção):
\sqrt{38}\approx 6{,}1644\quad\Rightarrow\quad \vec{M}_{O}\approx\big(-68{,}13\vec{i}+102{,}19\vec{j}+0\vec{k}\big)\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Você chegou lá! Se for para a prova, memoriza o passo: transformar a direção em versor, obter componentes da força, e usar \vec{M}=\vec{r}\times\vec{F} — com r do ponto de aplicação até a origem.

Resposta

\displaystyle \vec{M}_{O}=\frac{1}{\sqrt{38}}\big(-420\vec{i}+630\vec{j}+0\vec{k}\big)\\ \text{kN}\cdot\text{m}

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