Sejam Y= despesa com viagem (em unidades monetárias-u.m) e X= duração da viagem (em dias). Um modelo de regressão sendo Y=beta0+beta1 X+e foi ajustado. Para uma amostra de n=102, obteve-se:
sumi=1^n Yi=7140 ; sumi=1^n Xi=510 ; sumi=1^n Yi^2=740200 ; sumi=1^n Xi^2=4150 ; sumi=1^n Xi Yi=54900
Após uma reestruturação na empresa, o administrador quer saber se houve redução na despesa média com viagens diárias, que historicamente eram iguais a 13 , ou seja H0: beta1=13 e H1: beta1<13. Considere as seguintes assertivas:
4. Um intervalo a 95 por cento de confiança de beta1 é dado por [11.504 ; 12.496]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um modelo de regressão linear onde $ Y $ representa a despesa com viagem e $ X $ a duração da viagem em dias. O administrador quer saber se houve uma redução na despesa média com viagens diárias, que antes era igual a 13. Matematicamente, isso significa que estamos testando a hipótese $ H_0: \beta_1 = 13 $ contra $ H_1: \beta_1 < 13 $. Para resolver isso, vamos calcular um intervalo de confiança a 95% para o coeficiente $ \beta_1 $ e verificar se ele confirma a redução.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular os estimadores dos coeficientes $ \beta_0 $ e $ \beta_1 $ usando as somas fornecidas. A fórmula para $ \beta_1 $ é:
beta0
Vamos substituir os valores:
beta1
Calculando o numerador e o denominador:
beta1
beta1 = nsum XY - (sum X)(sum Y)nsum X^2 - (sum X)^2
Então:
beta1 = 102 times 54900 - 510 times 7140102 times 4150 - 510^2

Passo 3

Agora, vamos calcular $ \beta_0 $ usando a fórmula:
beta0
Primeiro, encontramos as médias $ \overline{Y} $ e $ \overline{X} $:
beta0 = Y - beta1 X
Y
Então:
X

Passo 4

Agora que temos $ \beta_0 = 10 $ e $ \beta_1 = 12 $, precisamos calcular o erro padrão de $ \beta_1 $ para construir o intervalo de confiança. A fórmula do erro padrão é:
beta0 = 10
Onde:
  • $ SSE $ é a soma dos erros ao quadrado.
  • $ S_{XX} = \sum X^2 - \frac{(\sum X)^2}{n} $
Primeiro, calculamos $ S_{XX} $:
beta1 = 12
Agora, calculamos o $ SSE $. Primeiro, a soma dos resíduos ao quadrado:
beta1
Substituindo os valores:
SEbeta1 = raizSSE(n-2) times SXX
Então:
SSE

Passo 5

Agora, vamos construir o intervalo de confiança a 95% para $ \beta_1 $. A fórmula é:
beta1
Onde $ t_{\alpha/2, df} $ é o valor crítico da distribuição t de Student para $ \alpha = 0.05 $ e $ df = n - 2 = 100 $. Consultando a tabela t, $ t_{0.025, 100} \approx 1.984 $.
Então:
beta1 pm talpha/2, df times SEbeta1
Isso resulta no intervalo:
talpha/2, df

Resposta

O intervalo de confiança a 95% para $ \beta_1 $ é beta1 .

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