Uma amostra de 30 elementos com SQT=1000 foi empregada para ajustar modelos de regressão linear em função de 2 varáveis auxiliares (X1 ; X2). Os modelos e os respectivos coeficientes de determinação ( R^2 ) estão dispostos na tabela abaixo:
Modelo Expressão R^2
M1 Y=f(X1) 0,54
M2 Y=f(X2) 0,648
M3 Y=f(X1, X2) 0,720
Considere as seguintes assertivas:
2. O modelo mais adequado é M3, visto que apresenta maior valor do coeficiente de determinação R^2=0,72>0,7

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma amostra de 30 elementos com uma Soma dos Quadrados Totais (SQT) igual a 1000. Foram ajustados três modelos de regressão linear usando duas variáveis auxiliares, $ X_1 $ e $ X_2 X1 çã R^{2} $) diferente. A questão apresenta uma assertiva dizendo que o modelo $ M_3 $ é o mais adequado porque seu $ R^{2} $ é 0,72, que é maior que 0,7. Vamos verificar se essa assertiva está correta usando conceitos de regressão linear e interpretação do $ R^{2} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente de determinação ($ R^{2} $). O $ R^{2} $ mede a proporção da variação na variável dependente ($ Y R^2 éá X_1 $ e $ X_2 $) no modelo de regressão. Em outras palavras, quanto maior o $ R^{2} $, melhor o modelo está ajustando os dados, explicando uma maior parte da variação em $ Y $.
A fórmula do $ R^{2} $ é:
R^2 í

Passo 3

Agora, olhando para os modelos apresentados:
  • Modelo $ M_1 $: $ Y = f(X_1) $ com $ R^{2} = 0,54 $
  • Modelo $ M_2 $: $ Y = f(X_2) $ com $ R^{2} = 0,648 $
  • Modelo $ M_3 $: $ Y = f(X_1, X_2) $ com $ R^{2} = 0,720 $
O modelo $ M_3 $ inclui ambas as variáveis $ X_1 $ e $ X_2 $, enquanto os modelos $ M_1 $ e $ M_2 $ usam apenas uma variável cada. Observamos que o $ R^{2} $ aumenta à medida que adicionamos mais variáveis no modelo, o que é esperado porque mais variáveis geralmente explicam mais variação em $ Y $.

Passo 4

A assertiva diz que o modelo $ M_3 $ é o mais adequado porque seu $ R^{2} = 0,72 $ é maior que 0,7. De fato, um $ R^{2} $ maior indica um melhor ajuste do modelo aos dados. No entanto, é importante também considerar se o aumento no $ R^{2} $ justifica a inclusão de uma segunda variável, ou seja, se a variável adicional contribui significativamente para explicar a variação em $ Y $.
Mas, com base apenas nos valores de $ R^{2} $ fornecidos, o modelo $ M_3 $ de fato apresenta o maior $ R^{2} $, indicando que ele explica melhor a variação em $ Y $ comparado aos outros modelos.

Resposta

Sim, a assertiva está correta. O modelo $ M_3 $ é o mais adequado porque apresenta o maior coeficiente de determinação $ R^{2} = 0,72 $, indicando que explica melhor a variação da variável dependente $ Y $ em relação aos outros modelos.

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