Determine an expression for the volume charge density associated with each D field following:
\mathbf{D}=\sin \theta \sin \varphi \mathbf{a}_{r}+\cos \theta \sin \varphi \mathbf{a}_{\theta}+\cos \varphi \mathbf{a}_{\varphi}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a densidade de carga volumétrica livre \rho_v associada ao campo de deslocamento elétrico \mathbf{D}. Em eletrostática em meios dielétricos vale a forma diferencial da lei de Gauss:
\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_v.
Como o campo \mathbf{D} está dado em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi), vamos usar a expressão do divergente em esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, para um campo
\mathbf{D}=D_r\,\mathbf{a}_r + D_\theta\,\mathbf{a}_\theta + D_\varphi\,\mathbf{a}_\varphi,
o divergente é
\nabla \cdot \mathbf{D} = \frac{1}{r^2}\,\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^2 D_r\bigr) + \frac{1}{r\sin\theta}\,\frac{\partial}{\partial \theta}\bigl(\sin\theta\,D_\theta\bigr) + \frac{1}{r\sin\theta}\,\frac{\partial D_\varphi}{\partial \varphi}.
Aqui temos
D_r = \sin\theta\,\sin\varphi,\quad D_\theta = \cos\theta\,\sin\varphi,\quad D_\varphi = \cos\varphi,
todos independentes de r.

Passo 3

Calcular o termo radial:
\frac{1}{r^2}\,\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^2 D_r\bigr) = \frac{1}{r^2}\,\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^2\sin\theta\sin\varphi\bigr) = \frac{1}{r^2}\bigl(2r\sin\theta\sin\varphi\bigr) = \frac{2\sin\theta\,\sin\varphi}{r}.

Passo 4

Calcular o termo polar:
\frac{1}{r\sin\theta}\,\frac{\partial}{\partial \theta}\bigl(\sin\theta\,D_\theta\bigr) = \frac{1}{r\sin\theta}\,\frac{\partial}{\partial \theta}\bigl(\sin\theta\cos\theta\sin\varphi\bigr) = \frac{\sin\varphi\,\cos2\theta}{r\sin\theta}.

Passo 5

Calcular o termo azimutal:
\frac{1}{r\sin\theta}\,\frac{\partial D_\varphi}{\partial \varphi} = \frac{1}{r\sin\theta}\,\frac{\partial(\cos\varphi)}{\partial \varphi} = \frac{-\sin\varphi}{r\sin\theta}.

Passo 6

Somando os três termos:
\nabla\cdot\mathbf{D} = \frac{2\sin\theta\,\sin\varphi}{r} + \frac{\sin\varphi\,\cos2\theta}{r\sin\theta} - \frac{\sin\varphi}{r\sin\theta}.
Note que
\frac{\sin\varphi\,\cos2\theta - \sin\varphi}{r\sin\theta} = \frac{\sin\varphi(\cos2\theta -1)}{r\sin\theta} = \frac{\sin\varphi(-2\sin^2\theta)}{r\sin\theta} = -\frac{2\sin\theta\,\sin\varphi}{r},
logo estes dois últimos termos anulam o primeiro, dando
\nabla\cdot\mathbf{D}=0.

Resposta

\rho_v = 0.

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