1.1.1 Sejam A e B duas matrizes definidas por
A=\left(\begin{array}{cccc} 2 x^{2}-3 x+7 & 0 & 4 & 0 \\\\ 0 & y^{3}-y & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 z^{4}+z^{2} & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & w_{w}^{3} \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cccc} 4 x^{2}+2 & 0 & 4 & 0 \\\\ 0 & 17 y^{2} & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 7 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 w^{2} \end{array}\right)
Ache os valores reais de x, y, z e w se 2 A=3 B.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores reais de x,y,z,w tais que 2A=3B, usando as matrizes dadas. As matrizes e suas entradas fornecidas são (copiando do enunciado):
A=\begin{pmatrix} 2 x^{2}-3 x+7 & 0 & 4 & 0 \\\\ 0 & y^{3}-y & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 z^{4}+z^{2} & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & w_{w}^{3} \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} 4 x^{2}+2 & 0 & 4 & 0 \\\\ 0 & 17 y^{2} & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 7 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 w^{2} \end{pmatrix}
Informações relevantes extraídas:
  • As entradas não nulas (potencialmente) estão em (1,1),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3),(4,4).
  • As entradas (1,3) em A e B são 4 (constante) em ambas as matrizes.
  • As entradas (2,3) em A e B são 1 (constante) em ambas as matrizes.
  • A entrada (4,4) em A está escrita como w_{w}^{3} no enunciado; isso parece ser um possível erro de digitação — mais adiante vou assumir que o autor quis escrever w^{3}, e aviso quando fizer essa suposição.
  • O objetivo é achar x,y,z,w\in\mathbb{R} tais que a igualdade matricial 2A=3B seja verdadeira.

Passo 2

Lembrete importante (definição usada): duas matrizes de mesma dimensão são iguais se, e somente se, todas as suas entradas correspondentes são iguais. Ou seja, se M e N são matrizes 4\times4, M=N implica M_{ij}=N_{ij} para todo i,j. Portanto, a igualdade 2A=3B equivale ao sistema de equações obtido igualando termo a termo:
2\,(A_{ij}) = 3\,(B_{ij})\quad\text{para todo }i,j.
Vou aplicar essa propriedade entrada a entrada. Isso é a regra básica e é o que se usa sempre em provas: igualdade matricial → igualdade de cada coordenada.

Passo 3

Verificação das entradas fora da diagonal principal que são constantes. Começo pela entrada (1,3):
A entrada (1,3) de A é 4 e a de B também é 4. A condição 2A=3B
2\cdot 4 = 3\cdot 4.
Calculando:
8 = 12,
o que é falso. Portanto já temos uma contradição imediata: a igualdade matricial exigiria 8=12, o que é impossível.

Passo 4

Verificação da outra entrada fora da diagonal principal que é constante, (2,3):
A entrada (2,3) de A é 1 e a de B é 1. A condição dá
2\cdot 1 = 3\cdot 1,
ou seja
2 = 3,
também falso. Mais uma contradição. Essas duas entradas já mostram que, independentemente dos valores de x,y,z,w, a igualdade 2A=3B não pode ser satisfeita porque depende apenas desses constantes nas posições (1,3) e (2,3).

Passo 5

Interpretação do que isso significa para a existência de solução: como a igualdade matricial exige igualdade entrada a entrada, qualquer posição onde as entradas sejam constantes e que levem a uma igualdade falsa impede existência de solução — não há como escolher x,y,z,w para consertar uma contradição que envolve apenas constantes. Logo, já se pode concluir que não existem valores reais de x,y,z,w que satisfaçam 2A=3B.

Passo 6

(Antes de concluir totalmente: mostrarei como se obteriam equações para x,y,z,w a partir das entradas da diagonal, caso as entradas fora da diagonal não tivessem causado contradição. Isso é para aprender o método que se usaria na prova.)
  • Igualando a entrada (1,1):
2\bigl(2x^{2}-3x+7\bigr)=3\bigl(4x^{2}+2\bigr).
Desenvolvendo e reunindo termos:
4x^{2}-6x+14=12x^{2}+6
0=8x^{2}+6x-8
0=4x^{2}+3x-4.
Isso seria uma equação quadrática em x. Seu discriminante é \Delta=3^{2}-4\cdot4\cdot(-4)=9+64=73, então haveria duas soluções reais para x:
x=\frac{-3\pm\sqrt{73}}{8}.
  • Igualando a entrada (2,2):
2\bigl(y^{3}-y\bigr)=3\cdot 17 y^{2}
2y^{3}-2y=51y^{2}
2y^{3}-51y^{2}-2y=0
y\bigl(2y^{2}-51y-2\bigr)=0.
Daí y=0 ou 2y^{2}-51y-2=0, que é uma quadrática com discriminante \Delta=51^{2}+16=2617, levando a duas soluções reais adicionais para y.
  • Igualando a entrada (3,3):
2\bigl(2z^{4}+z^{2}\bigr)=3\cdot 7
4z^{4}+2z^{2}=21
fazendo u=z^{2} (substituição comum para polinômio em z^{2}):
4u^{2}+2u-21=0.
O discriminante aqui é \Delta=2^{2}-4\cdot4\cdot(-21)=4+336=340. As raízes para u são
u=\frac{-2\pm\sqrt{340}}{8}=\frac{-1\pm\sqrt{85}}{4}.
Como u=z^{2}\ge 0, só a solução u=\dfrac{-1+\sqrt{85}}{4} é admissível; então z=\pm\sqrt{u}.
  • Igualando a entrada (4,4): aqui preciso mencionar a ambiguidade do enunciado: a entrada de A está escrita como w_{w}^{3}. Vou assumir que o autor quis dizer w^{3}. Sob essa interpretação,
2w^{3}=3\cdot 3w^{2}
2w^{3}=9w^{2}
w^{2}(2w-9)=0,
logo w=0 ou w=\dfrac{9}{2}.
Essas manipulações mostram o procedimento padrão (igualar entradas correspondentes, simplificar, resolver polinômios), que é o que se faria em uma prova.

Passo 7

Conclusão final baseada nas contradições das entradas fora da diagonal: apesar de as equações diagonais acima admitirem soluções formais, as entradas constantes (1,3) e (2,3) provocam igualdades impossíveis ( 8=12 e 2=3). Essas igualdades falsas não dependem de x,y,z,w, logo não há como escolher x,y,z,w para satisfazer 2A=3B. Portanto, o sistema inteiro não tem solução em \mathbb{R}.

Resposta

Não existem valores reais x,y,z,w tais que 2A=3B.

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