Explicação didática: I é a matriz identidade (1 na diagonal, 0 nos outros lugares). N tem apenas uns na superdiagonal (logo acima da diagonal) e zeros em todo o resto. Essa decomposição é útil porque I é a identidade e comuta com qualquer matriz, ou seja, IN=NI.
Passo 3
Propriedade muito importante de N: é nilpotente, isto é, alguma potência inteira positiva de N dá a matriz zero. Vamos calcular potências pequenas de N para ver até quando são não nulas.
N (já dada) tem uns na posição (1,2),(2,3),(3,4).
Calcule N^2 = N\cdot N. Multiplicando, cada produto desloca duas posições para a direita, resultando em uns na posição (1,3) e (2,4):
Finalmente, N^4=0 (a matriz nula), porque já não é possível deslocar quatro posições à direita em uma matriz 4\times4. Portanto N é nilpotente de ordem 4: N^4=0.
Passo 4
Aplicando a fórmula do binómio para matrizes que comutam: como I e N comutam, vale a expansão