Calcule A^{10} para a matriz:
A=\left(\begin{array}{llll} 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • A matriz dada é
A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
  • A tarefa é calcular A^{10}, ou seja, multiplicar A por si mesma 10 vezes e apresentar a matriz resultante.

Passo 2

Observação útil (fato que facilita muito o cálculo): escrevemos A como soma de duas matrizes simples. Defina
I=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right), \qquad N=A-I= \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).
Então
A=I+N.
Explicação didática: I é a matriz identidade (1 na diagonal, 0 nos outros lugares). N tem apenas uns na superdiagonal (logo acima da diagonal) e zeros em todo o resto. Essa decomposição é útil porque I é a identidade e comuta com qualquer matriz, ou seja, IN=NI.

Passo 3

Propriedade muito importante de N: é nilpotente, isto é, alguma potência inteira positiva de N dá a matriz zero. Vamos calcular potências pequenas de N para ver até quando são não nulas.
  • N (já dada) tem uns na posição (1,2),(2,3),(3,4).
  • Calcule N^2 = N\cdot N. Multiplicando, cada produto desloca duas posições para a direita, resultando em uns na posição (1,3) e (2,4):
N^2=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).
  • Calcule N^3 = N^2\cdot N. Isso desloca três posições para a direita, gerando uma única entrada não nula em (1,4):
N^3=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).
  • Finalmente, N^4=0 (a matriz nula), porque já não é possível deslocar quatro posições à direita em uma matriz 4\times4. Portanto N é nilpotente de ordem 4: N^4=0.

Passo 4

Aplicando a fórmula do binómio para matrizes que comutam: como I e N comutam, vale a expansão
A^{10}=(I+N)^{10}=\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}I^{\,10-k}N^{k}.
Mas I^{\,m}=I e, como vimos, N^k=0 para k\ge 4. Assim
A^{10}=\sum_{k=0}^{3}\binom{10}{k}N^{k}.
Vamos calcular os coeficientes binomiais que aparecem:
\binom{10}{0}=1,\qquad \binom{10}{1}=10,\qquad \binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45,\qquad \binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{6}=120.

Passo 5

Agora montamos a soma termo a termo usando N^0=I, N, N^2 e N^3:
A^{10}=1\cdot I + 10\cdot N + 45\cdot N^2 + 120\cdot N^3.
Substituindo as matrizes já calculadas:
1\cdot I= \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right), \quad 10\cdot N= \left(\begin{array}{cccc} 0 & 10 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 10 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 10 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right),
45\cdot N^2= \left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 45 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 45 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right), \quad 120\cdot N^3= \left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 120 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).
Somando estes termos termo a termo obtemos que A^{10} é a matriz triangular superior com nas diagonais:
  • diagonal principal: 1,
  • primeira superdiagonal: 10,
  • segunda superdiagonal: 45,
  • terceira superdiagonal: 120,
    e zeros abaixo da diagonal. Ou seja:

Passo 6

Escrevendo explicitamente,
A^{10}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 10 & 45 & 120 \\\\ 0 & 1 & 10 & 45 \\\\ 0 & 0 & 1 & 10 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).

Resposta

A^{10}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 10 & 45 & 120 \\\\ 0 & 1 & 10 & 45 \\\\ 0 & 0 & 1 & 10 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)

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