Pergunta: para quais valores de \lambda a matriz A-\lambda I é singular?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A-\lambda I é singular exatamente quando o determinante \det(A-\lambda I)=0.
Portanto devemos calcular o polinômio característico p(\lambda)=\det(A-\lambda I) e resolver p(\lambda)=0.
Passo 2
Conceito chave e estratégia (passo-a-passo didático).
Lembrete: uma matriz quadrada M é singular se e só se \det(M)=0.
Aqui M=A-\lambda I. Logo precisamos calcular \det(A-\lambda I) como função de \lambda (o polinômio característico) e resolver a equação resultante.
Vou construir A-\lambda I explicitamente e calcular o determinante por expansão (escolhi expandir pela primeira coluna porque tem um zero, o que simplifica um pouco). Vou mostrar cada menor 3×3 e a conta passo a passo — nada fica oculto.
Portanto A-\lambda I é singular exatamente quando p(\lambda)=0.
Passo 6
Como resolver p(\lambda)=0 — análise e métodos.
Primeiro tentamos possíveis raízes racionais (divisores de 63): \pm1,\pm3,\pm7,\pm9,\pm21,\pm63. Substituindo na expressão, nenhum desses é raiz (testes rápidos dão restos não nulos). Logo não há raízes inteiras simples.
O próximo passo é procurar fatoração em quadráticos com coeficientes racionais. Tentar combinações inteiras não deu certo; então os fatores não têm coeficientes inteiros simples.
Como a matriz é simétrica real, todos os autovalores (raízes) são reais. Então p(\lambda) tem quatro raízes reais (possivelmente repetidas). Para obter valores numéricos usaremos busca numérica (método da bisecção/avaliações) para localizar e refinar as raízes — isto é totalmente aceitável numa prova quando raízes exatas são complicadas, e é um procedimento que dá valores confiáveis.
Vou mostrar a localização por intervalos e depois refinar com bissecção (mostrando os valores de p(\lambda) em pontos-chave):
Tendo duas raízes aproximadas \lambda_1\approx 4{,}184 e \lambda_2\approx 6{,}734, e sabendo que a soma das quatro raízes (coefs do polinômio) é 14 (traço de A), os outros dois autovalores somam aproximadamente 14-4{,}184-6{,}734\approx 3{,}082. Pelo produto total das raízes (termo independente com sinal (-1)^4) que é 63, o produto dos outros dois é aproximadamente 63/(4{,}184\cdot6{,}734)\approx 2{,}24. Resolver a quadrática cuja soma e produto são esses valores dá as duas últimas raízes aproximadas: