Para que valores de \lambda a matriz A-\lambda I é singular?
A=\left(\begin{array}{cccc} 4 & 1 & 0 & 2 \\\\ 1 & 3 & -1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 0 & 1 & 5 \end{array}\right)

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado.
  • É dada a matriz
A=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 2 \\\\ 1 & 3 & -1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 0 & 1 & 5 \end{pmatrix}.
  • Pergunta: para quais valores de \lambda a matriz A-\lambda I é singular?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A-\lambda I é singular exatamente quando o determinante \det(A-\lambda I)=0.
  • Portanto devemos calcular o polinômio característico p(\lambda)=\det(A-\lambda I) e resolver p(\lambda)=0.

Passo 2

Conceito chave e estratégia (passo-a-passo didático).
  • Lembrete: uma matriz quadrada M é singular se e só se \det(M)=0.
  • Aqui M=A-\lambda I. Logo precisamos calcular \det(A-\lambda I) como função de \lambda (o polinômio característico) e resolver a equação resultante.
  • Vou construir A-\lambda I explicitamente e calcular o determinante por expansão (escolhi expandir pela primeira coluna porque tem um zero, o que simplifica um pouco). Vou mostrar cada menor 3×3 e a conta passo a passo — nada fica oculto.

Passo 3

Formando A-\lambda I.
A-\lambda I= \begin{pmatrix} 4-\lambda & 1 & 0 & 2 \\\\ 1 & 3-\lambda & -1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 2-\lambda & 1 \\\\ 2 & 0 & 1 & 5-\lambda \end{pmatrix}.
Queremos p(\lambda)=\det(A-\lambda I).

Passo 4

Expansão do determinante pela primeira coluna (passo-a-passo).
Usando a expansão pela primeira coluna:
p(\lambda)=\sum_{i=1}^{4}(-1)^{i+1} (A-\lambda I)_{i1}\det(M_{i1}),
onde M_{i1} é o menor obtido ao eliminar a i-ésima linha e primeira coluna.
Os termos não nulos são para i=1,2,4 (o elemento na posição (3,1) é zero). Assim
p(\lambda)=(4-\lambda)\,D_1 - 1\cdot D_2 - 2\cdot D_4,
onde
  • D_1=\det\begin{pmatrix}3-\lambda & -1 & 0\\\\ -1 & 2-\lambda & 1\\\\ 0 & 1 & 5-\lambda\end{pmatrix},
  • D_2=\det\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\\\ -1 & 2-\lambda & 1\\\\ 0 & 1 & 5-\lambda\end{pmatrix} (menor associado ao elemento 1 em posição (2,1)),
  • D_4=\det\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\\\ 3-\lambda & -1 & 0\\\\ -1 & 2-\lambda & 1\end{pmatrix} (menor associado ao elemento 2 em posição (4,1)).
Agora calculamos cada um destes determinantes 3×3.
Cálculo de D_1. Expandindo D_1 pela primeira linha (tem um zero):
D_1=(3-\lambda)\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\[4pt]1 & 5-\lambda\end{pmatrix} -(-1)\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]0 & 5-\lambda\end{pmatrix}.
Calcule os menores 2×2:
\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\[4pt]1 & 5-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(5-\lambda)-1=\lambda^2-7\lambda+9,
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]0 & 5-\lambda\end{pmatrix}=(-1)(5-\lambda)=\lambda-5.
Portanto
D_1=(3-\lambda)(\lambda^2-7\lambda+9)+(\lambda-5).
Expandindo:
D_1=-\lambda^3+10\lambda^2-29\lambda+22.
Cálculo de D_2. Expandindo pela primeira linha:
D_2=1\cdot\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\[4pt]1 & 5-\lambda\end{pmatrix} -0+\;2\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 2-\lambda\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Os menores já aparecem:
\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\[4pt]1 & 5-\lambda\end{pmatrix}=\lambda^2-7\lambda+9,
\det\begin{pmatrix}-1 & 2-\lambda\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=-1.
Logo
D_2=(\lambda^2-7\lambda+9)+2(-1)=\lambda^2-7\lambda+7.
Cálculo de D_4. Expandindo pela primeira linha:
D_4=1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]2-\lambda & 1\end{pmatrix} -0+\;2\cdot\det\begin{pmatrix}3-\lambda & -1\\[4pt]-1 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
Os menores:
\det\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]2-\lambda & 1\end{pmatrix}=-1,
\det\begin{pmatrix}3-\lambda & -1\\[4pt]-1 & 2-\lambda\end{pmatrix}=(3-\lambda)(2-\lambda)-1=\lambda^2-5\lambda+5.
Portanto
D_4=-1 + 2(\lambda^2-5\lambda+5)=2\lambda^2-10\lambda+9.]

Passo 5

Montagem do polinômio característico e simplificação final.
Agora substituímos D_1,D_2,D_4 em
p(\lambda)=(4-\lambda)D_1 - D_2 - 2D_4.
Substituindo e expandindo cuidadosamente obtemos (mostrando a expansão):
(4-\lambda)D_1=(4-\lambda)(-\lambda^3+10\lambda^2-29\lambda+22) =\lambda^4-14\lambda^3+69\lambda^2-138\lambda+88.
Subtraindo D_2:
\lambda^4-14\lambda^3+69\lambda^2-138\lambda+88 -(\lambda^2-7\lambda+7) =\lambda^4-14\lambda^3+68\lambda^2-131\lambda+81.
E subtraindo 2D_4=4\lambda^2-20\lambda+18 obtemos o polinômio final:
\boxed{\,p(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\lambda^4-14\lambda^3+64\lambda^2-111\lambda+63\,.}
Portanto A-\lambda I é singular exatamente quando p(\lambda)=0.

Passo 6

Como resolver p(\lambda)=0 — análise e métodos.
  • Primeiro tentamos possíveis raízes racionais (divisores de 63): \pm1,\pm3,\pm7,\pm9,\pm21,\pm63. Substituindo na expressão, nenhum desses é raiz (testes rápidos dão restos não nulos). Logo não há raízes inteiras simples.
  • O próximo passo é procurar fatoração em quadráticos com coeficientes racionais. Tentar combinações inteiras não deu certo; então os fatores não têm coeficientes inteiros simples.
  • Como a matriz é simétrica real, todos os autovalores (raízes) são reais. Então p(\lambda) tem quatro raízes reais (possivelmente repetidas). Para obter valores numéricos usaremos busca numérica (método da bisecção/avaliações) para localizar e refinar as raízes — isto é totalmente aceitável numa prova quando raízes exatas são complicadas, e é um procedimento que dá valores confiáveis.
Vou mostrar a localização por intervalos e depois refinar com bissecção (mostrando os valores de p(\lambda) em pontos-chave):
Avaliações:
\begin{aligned} p(0)&=63>0,\\\ p(2)&=1>0,\\\ p(4)&=3>0,\\\ p(4{,}5)&\approx -6{,}1875<0, \end{aligned}
logo há uma raiz em (4,4{,}5).
Refinando na bissecção entre 4{,}18 e 4{,}185 (avaliações calculadas acima) encontramos o zero perto de
\lambda\approx 4{,}184\quad(\text{aprox. }3\text{ casas decimais }4{,}184).
Continuando:
\begin{aligned} p(6{,}5)&\approx -14{,}19<0,\\\ p(6{,}8)&\approx 6{,}25>0, \end{aligned}
há uma raiz em (6{,}5,6{,}8). Refinando por bissecção obtemos
\lambda\approx 6{,}734\quad(\text{aprox. }3\text{ casas decimais }6{,}734).
Tendo duas raízes aproximadas \lambda_1\approx 4{,}184 e \lambda_2\approx 6{,}734, e sabendo que a soma das quatro raízes (coefs do polinômio) é 14 (traço de A), os outros dois autovalores somam aproximadamente 14-4{,}184-6{,}734\approx 3{,}082. Pelo produto total das raízes (termo independente com sinal (-1)^4) que é 63, o produto dos outros dois é aproximadamente 63/(4{,}184\cdot6{,}734)\approx 2{,}24. Resolver a quadrática cuja soma e produto são esses valores dá as duas últimas raízes aproximadas:
\lambda\approx 1{,}916\quad\text{e}\quad \lambda\approx 1{,}166\quad(\text{3 casas decimais}).
Resumo numérico (arredondando razoavelmente) das quatro raízes reais do polinômio p(\lambda):
\lambda\approx 6{,}734,\quad 4{,}184,\quad 1{,}916,\quad 1{,}166.
(Verificação rápida: a soma dá aproximadamente 14 e o produto aproximadamente 63, coerente com os coeficientes do polinômio.)

Resposta

\lambda\approx 6{,}734
\lambda\approx 4{,}184
\lambda\approx 1{,}916
\lambda\approx 1{,}166

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