Sejam A e B duas matrizes quadradas n times n. Voltando ao caso a). Mostre que: Se A e B são duas matrizes quadradas n times n, então (A+B)^2= A^2+2 A B+B^2 se e somente se A B=B A.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes quadradas , chamadas e . A gente precisa mostrar que se e somente se . Isso está relacionado com o conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre multiplicação de matrizes e comutatividade. Para resolver, vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e entender quando duas matrizes comutam, ou seja, quando a ordem da multiplicação não altera o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir (A + B)(A + B) = A(A) + A(B) + B(A) + B(B) = A^2 + AB + BA + B^2 . Sabemos que, em álgebra, . Então, vamos fazer essa multiplicação:

Passo 3

Agora, comparemos isso com a expressão que queremos provar:
A^2 + 2AB + B^2
Para que , precisamos que . Vamos ver o que isso significa.

Passo 4

A igualdade AB + BA = 2AB implies BA = AB pode ser rearranjada assim:
Isso mostra que, para que a expressão seja igual a , as matrizes e precisam comutar, ou seja, .

Passo 5

Agora, vamos provar o “se e somente se”. Já mostramos que se A^2 + AB + BA + B^2 = A^2 + 2AB + B^2 , então AB + BA = 2AB implies BA = AB . Agora, precisamos mostrar o contrário: se , então .
Se , pela expansão feita no Passo 2, temos:
Subtraindo de ambos os lados:
Portanto, a igualdade das matrizes implica que elas comutam.

Resposta

Concluímos que se e somente se .

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