Sejam
e
duas matrizes quadradas
. Voltando ao caso a). Mostre que: Se
e
são duas matrizes quadradas
, então
se e somente se
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes quadradas
, chamadas
e
. A gente precisa mostrar que
se e somente se
. Isso está relacionado com o conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre multiplicação de matrizes e comutatividade. Para resolver, vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e entender quando duas matrizes comutam, ou seja, quando a ordem da multiplicação não altera o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir
. Sabemos que, em álgebra,
. Então, vamos fazer essa multiplicação:
Passo 3
Agora, comparemos isso com a expressão que queremos provar:
Para que
, precisamos que
. Vamos ver o que isso significa.
Passo 4
A igualdade
pode ser rearranjada assim:
Isso mostra que, para que a expressão
seja igual a
, as matrizes
e
precisam comutar, ou seja,
.
Passo 5
Agora, vamos provar o “se e somente se”. Já mostramos que se
, então
. Agora, precisamos mostrar o contrário: se
, então
.
Se
, pela expansão feita no Passo 2, temos:
Subtraindo
de ambos os lados:
Portanto, a igualdade das matrizes implica que elas comutam.
Resposta
Concluímos que
se e somente se
.