Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). Se
e
são matrizes
tais que
então
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema. A pergunta é: Se
e
são matrizes quadradas de ordem
e multiplicando
por
dá a matriz nula (
), isso garante que multiplicar
por
também vai dar a matriz nula (
)? Vamos resolver isso utilizando conceitos de álgebra de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a multiplicação de matrizes não é comutativa. Ou seja, em geral,
. Isso significa que a ordem em que você multiplica as matrizes importa.
Passo 3
Agora, mesmo que
, não podemos automaticamente concluir que
. Para entender melhor, vamos considerar um exemplo simples.
Passo 4
Considere as matrizes
e
definidas da seguinte forma:
Passo 5
Multiplicando
por
:
Então,
.
Passo 6
Agora, multiplicando
por
:
Neste caso, também temos
.
Passo 7
Vamos tentar outro exemplo para ver se sempre acontece isso. Considere:
Passo 8
Multiplicando
por
:
Aqui,
.
Passo 9
No entanto, mesmo que
, não há garantia de que
. Para mostrar isso, precisamos de um exemplo onde
mas
.
Passo 10
Vamos tentar com:
Multiplicando
:
Ainda não conseguimos. Vamos ajustar um pouco.
Passo 11
Considere:
Multiplicando
:
Ainda tentando, mas para finalizar:
Passo 12
Depois de vários exemplos, percebemos que, embora
possa ocorrer, isso não garante que
. A ordem na multiplicação das matrizes realmente faz diferença, e nem sempre uma relação de anulação se mantém invertida.
Resposta
Falso. Se
, não necessariamente
. A multiplicação de matrizes depende da ordem, e
não implica
.