Sejam
e
duas variáveis aleatórias independentes que seguem distribuições normais
e
, respectivamente. Suponha que:
Então determine a esperança e o desvio padrão para esta variável.
Determine
tal que: (a)
, (b)
;
Determine
Passo 1
O enunciado dá duas variáveis independentes, uma delas
(normal padrão) e a outra
. Ele fornece duas probabilidades para
:
As perguntas são:
- Determinar a esperança
e o desvio padrão de . - Determinar
tal que . - Determinar
tal que .]
Passo 2
Vamos lembrar a transformação entre uma normal
e a normal padrão
. A fórmula é
Isto significa que para qualquer valor
,
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Para probabilidades do tipo
usamos
.
Passo 3
Usamos a primeira informação
. Reescrevendo em termos de
:
Logo
Passo 4
Consultando a tabela da normal padrão (ou sabendo valores clássicos),
. Portanto
Isto gera a primeira equação entre
e
:
Passo 5
Agora usamos a segunda informação
. Reescrevendo:
Então
Da tabela,
. Assim
Isto dá a segunda equação:
Passo 6
Temos agora o sistema linear em
Igualando as duas expressões para
e subtraindo
dos dois lados:
Substituindo em
:
Passo 7
Faço uma checagem rápida para ver se bate com os dados:
Para :
Para
logo
— confere.
Para :
Para
logo
— confere também.
Passo 8
Agora tratamos
. Encontrar
tal que
significa achar o quantil
. Isso é a inversa da função
. Para valores comuns usamos a tabela ou valores conhecidos.
Passo 9
(a) Para
sabemos que
. Portanto
Passo 10
(b) Para
consultamos a tabela:
e
. O valor que queremos é muito próximo de
. Assim, com precisão de duas casas decimais,
Resposta
(a)
(b)