Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes que seguem distribuições normais N(0,1) e N\left(\mu, \sigma^{2}\right), respectivamente. Suponha que:
\left\{\begin{array}{l} P[Y>1]=0,8413 \\\ P[Y>9]=0,0228 \end{array}\right.
Então determine a esperança e o desvio padrão para esta variável.
Determine x tal que: (a) P[X<x]=0,975, (b) P[X<x]=0,883;

Passo 1

O enunciado dá duas variáveis independentes, uma delas X\sim N(0,1) (normal padrão) e a outra Y\sim N\left(\mu,\sigma^{2}\right). Ele fornece duas probabilidades para Y:
\left\{\begin{array}{l} P[Y>1]=0,8413\\[4pt] P[Y>9]=0,0228 \end{array}\right.
As perguntas são:
  1. Determinar a esperança \mu e o desvio padrão \sigma de Y.
  2. Determinar x tal que P[X<x]=0,975.
  3. Determinar x tal que P[X<x]=0,883.]

Passo 2

Vamos lembrar a transformação entre uma normal Y\sim N(\mu,\sigma^{2}) e a normal padrão Z\sim N(0,1). A fórmula é
Z=\frac{Y-\mu}{\sigma}.
Isto significa que para qualquer valor y,
P[Y\le y]=P\!\left[Z\le \frac{y-\mu}{\sigma}\right]=\Phi\!\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Para probabilidades do tipo P[Y>y] usamos P[Y>y]=1-\Phi\!\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right).

Passo 3

Usamos a primeira informação P[Y>1]=0,8413. Reescrevendo em termos de \Phi:
P[Y>1]=0,8413 \implies P[Y\le 1]=1-0,8413=0,1587.
Logo
\Phi\!\left(\frac{1-\mu}{\sigma}\right)=0,1587.

Passo 4

Consultando a tabela da normal padrão (ou sabendo valores clássicos), \Phi(-1)=0,1587. Portanto
\frac{1-\mu}{\sigma}=-1.
Isto gera a primeira equação entre \mu e \sigma:
1-\mu=-\sigma \quad\Longrightarrow\quad \mu=1+\sigma.

Passo 5

Agora usamos a segunda informação P[Y>9]=0,0228. Reescrevendo:
P[Y\le 9]=1-0,0228=0,9772.
Então
\Phi\!\left(\frac{9-\mu}{\sigma}\right)=0,9772.
Da tabela, \Phi(2)=0,9772. Assim
\frac{9-\mu}{\sigma}=2.
Isto dá a segunda equação:
9-\mu=2\sigma \quad\Longrightarrow\quad \mu=9-2\sigma.

Passo 6

Temos agora o sistema linear em \mu\) e \(\sigma\): \[\begin{cases} \mu=1+\sigma,\\[4pt] \mu=9-2\sigma. \end{cases}
Igualando as duas expressões para \mu\]: \[1+\sigma=9-2\sigma.\] Somando \(2\sigma e subtraindo 1 dos dois lados:
3\sigma=8 \quad\Longrightarrow\quad \sigma=\frac{8}{3}.
Substituindo em \mu=1+\sigma:
\mu=1+\frac{8}{3}=\frac{11}{3}.]

Passo 7

Faço uma checagem rápida para ver se bate com os dados:
Para y=1:
\frac{1-\mu}{\sigma}=\frac{1-\frac{11}{3}}{\frac{8}{3}}=\frac{-\frac{8}{3}}{\frac{8}{3}}=-1,
logo P[Y>1]=P[Z>-1]=1-\Phi(-1)=1-0,1587=0,8413 — confere.
Para y=9:
\frac{9-\mu}{\sigma}=\frac{9-\frac{11}{3}}{\frac{8}{3}}=\frac{\frac{16}{3}}{\frac{8}{3}}=2,
logo P[Y>9]=P[Z>2]=1-\Phi(2)=1-0,9772=0,0228 — confere também.

Passo 8

Agora tratamos X\sim N(0,1). Encontrar x tal que P[X<x]=p significa achar o quantil x=\Phi^{-1}(p). Isso é a inversa da função \Phi. Para valores comuns usamos a tabela ou valores conhecidos.

Passo 9

(a) Para p=0,975 sabemos que \Phi(1,96)\approx 0,975. Portanto
x=1,96.

Passo 10

(b) Para p=0,883 consultamos a tabela: \Phi(1,18)\approx 0,8808 e \Phi(1,19)\approx 0,8830. O valor que queremos é muito próximo de 1,19. Assim, com precisão de duas casas decimais,
x\approx 1,19.

Resposta

\mu=\dfrac{11}{3} e \sigma=\dfrac{8}{3}
(a) x=1,96
(b) x=1,19

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