A igualdade
\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\ldots+\binom{n}{n}=2^{n} .
é verdadeira? Justifique. Relacione com espaço amostral e o número de seus eventos.

Passo 1

O enunciado pergunta se a igualdade
\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\ldots+\binom{n}{n}=2^{n}
é verdadeira e pede justificativa. Também pede que eu relacione essa igualdade com espaço amostral e o número de seus eventos.
Informações dadas:
  • A soma envolve os coeficientes binomiais \binom{n}{k} para k=0,1,\dots,n.
  • Do lado direito aparece 2^{n}.
  • Preciso justificar a igualdade e conectar isso com conceitos de espaço amostral e eventos.

Passo 2

Primeiro, vou definir e explicar o que é cada peça da soma, com calma e sem pressa.
Definição de fatorial:
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1
para n\ge1 e por convenção 0!=1. Isso é útil para escrever os coeficientes binomiais.
Definição de coeficiente binomial:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde \binom{n}{k} é o número de maneiras distintas de escolher exatamente k elementos de um conjunto com n elementos (a ordem não importa). Aqui:
  • n! conta todas as permutações de n elementos;
  • k! e (n-k)! dividem para não contar permutações internas dos escolhidos e dos não escolhidos (já que a ordem não interessa).
Exemplo pequeno para fixar: para n=3,
\binom{3}{0}=1,\quad \binom{3}{1}=3,\quad \binom{3}{2}=3,\quad \binom{3}{3}=1.

Passo 3

Prova combinatória (intuição e contagem direta): contar subconjuntos de um conjunto com n elementos.
Considere um conjunto S com n elementos. Vamos contar quantos subconjuntos de S existem no total.
  • O número de subconjuntos de tamanho exatamente k é \binom{n}{k} (pois escolhemos quais k elementos entram).
  • Para contar todos os subconjuntos de S sem restrição de tamanho, somamos sobre todos os possíveis tamanhos:
\text{nº total de subconjuntos}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}.º
  • Mas cada elemento do conjunto S pode ou não estar presente num subconjunto: isso dá duas opções por elemento, e as escolhas são independentes entre os n elementos. Pelo princípio multiplicativo, o número total de subconjuntos é
2\cdot2\cdot\ldots\cdot2 = 2^{n},
com n fatores. Portanto
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^{n}.
Essa é a prova combinatória: a soma dos coeficientes binomiais conta os subconjuntos por tamanho; o lado direito conta os mesmos subconjuntos pensando em ligar/desligar cada elemento (incluir/excluir).

Passo 4

Prova algébrica via o Teorema do Binômio:
O Teorema do Binômio diz que, para qualquer número real (ou complexo) x e y e inteiro n\ge0,
(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^{k}.
Aqui \binom{n}{k} é o mesmo coeficiente já definido; o teorema é uma identidade algebraica que expande uma potência de soma.
Tomando x=1 e y=1 neste teorema, temos
(1+1)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}1^{\,n-k}1^{\,k}.
Como 1^{\,n-k}=1 e 1^{\,k}=1, isso vira
2^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}.
Portanto a identidade é verdadeira também por argumento algébrico.

Passo 5

Interpretação probabilística / relação com espaço amostral e eventos:
Considere um espaço amostral \Omega formado pelos n elementos de um conjunto (por exemplo, \Omega=\{1,2,\dots,n\}). Em probabilidade, um evento é qualquer subconjunto de \Omega. O conjunto de todos os eventos é a família das partes (o conjunto das partes, ou power set) de \Omega, denotada \mathcal{P}(\Omega).
  • O número de elementos de \Omega é |\Omega|=n.
  • O número total de eventos (isto é, o número de subconjuntos de \Omega) é |\mathcal{P}(\Omega)|.
  • Já vimos que o número de subconjuntos é \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}, e pela identidade essa soma vale 2^{n}.
    Logo:
|\mathcal{P}(\Omega)|=2^{n}.
Em palavras simples: se o espaço amostral tem n resultados possíveis, então existem 2^{n} eventos possíveis (porque cada evento corresponde a escolher, para cada um dos n resultados, se ele pertence ou não ao evento).

Passo 6

Exemplo concreto para fixar (tomando n=3):
Se \Omega=\{a,b,c\}, os subconjuntos são:
\varnothing,\\ \{a\},\\ \{b\},\\ \{c\},\\ \{a,b\},\\ \{a,c\},\\ \{b,c\},\\ \{a,b,c\}.
Contamos 1+3+3+1=8 subconjuntos, e 8=2^{3}. Aqui \binom{3}{0}=1,\binom{3}{1}=3,\binom{3}{2}=3,\binom{3}{3}=1, e a soma dá 2^{3}.
Outro exemplo de interpretação: sequências de n lançamentos de moeda justa — cada lançamento tem duas possibilidades (cara ou coroa), assim 2^{n} sequências possíveis. Cada sequência corresponde a um subconjunto dos índices onde saiu, por exemplo, “caras”, estabelecendo a mesma contagem.

Passo 7

Resumo e finalização: a igualdade é verdadeira e tem duas interpretações equivalentes e úteis — uma combinatória (contagem de subconjuntos por tamanho) e outra algébrica (aplicação do Teorema do Binômio com x=y=1). Em termos de espaço amostral, se |\Omega|=n então o número de eventos possíveis (subconjuntos de \Omega) é 2^{n}, que é exatamente a soma dos coeficientes binomiais.

Resposta

Sim. \displaystyle \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^{n}.
Interpretação: a soma conta todos os subconjuntos de um conjunto com n elementos (somando por tamanho), logo o número total de eventos em um espaço amostral com n resultados é 2^{n}.

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