A igualdade
é verdadeira? Justifique. Relacione com espaço amostral e o número de seus eventos.
Passo 1
O enunciado pergunta se a igualdade
é verdadeira e pede justificativa. Também pede que eu relacione essa igualdade com espaço amostral e o número de seus eventos.
Informações dadas:
- A soma envolve os coeficientes binomiais
para . - Do lado direito aparece
. - Preciso justificar a igualdade e conectar isso com conceitos de espaço amostral e eventos.
Passo 2
Primeiro, vou definir e explicar o que é cada peça da soma, com calma e sem pressa.
Definição de fatorial:
para
e por convenção
. Isso é útil para escrever os coeficientes binomiais.
Definição de coeficiente binomial:
onde
é o número de maneiras distintas de escolher exatamente
elementos de um conjunto com
elementos (a ordem não importa). Aqui:
-
conta todas as permutações de elementos; -
e dividem para não contar permutações internas dos escolhidos e dos não escolhidos (já que a ordem não interessa).
Exemplo pequeno para fixar: para
,
Passo 3
Prova combinatória (intuição e contagem direta): contar subconjuntos de um conjunto com
elementos.
Considere um conjunto
com
elementos. Vamos contar quantos subconjuntos de
existem no total.
- O número de subconjuntos de tamanho exatamente
é (pois escolhemos quais elementos entram). - Para contar todos os subconjuntos de
sem restrição de tamanho, somamos sobre todos os possíveis tamanhos:
- Mas cada elemento do conjunto
pode ou não estar presente num subconjunto: isso dá duas opções por elemento, e as escolhas são independentes entre os elementos. Pelo princípio multiplicativo, o número total de subconjuntos é
com
fatores. Portanto
Essa é a prova combinatória: a soma dos coeficientes binomiais conta os subconjuntos por tamanho; o lado direito conta os mesmos subconjuntos pensando em ligar/desligar cada elemento (incluir/excluir).
Passo 4
Prova algébrica via o Teorema do Binômio:
O Teorema do Binômio diz que, para qualquer número real (ou complexo)
e
e inteiro
,
Aqui
é o mesmo coeficiente já definido; o teorema é uma identidade algebraica que expande uma potência de soma.
Tomando
e
neste teorema, temos
Como
e
, isso vira
Portanto a identidade é verdadeira também por argumento algébrico.
Passo 5
Interpretação probabilística / relação com espaço amostral e eventos:
Considere um espaço amostral
formado pelos
elementos de um conjunto (por exemplo,
). Em probabilidade, um evento é qualquer subconjunto de
. O conjunto de todos os eventos é a família das partes (o conjunto das partes, ou power set) de
, denotada
.
- O número de elementos de
é . - O número total de eventos (isto é, o número de subconjuntos de
) é . - Já vimos que o número de subconjuntos é
, e pela identidade essa soma vale .
Logo:
Em palavras simples: se o espaço amostral tem
resultados possíveis, então existem
eventos possíveis (porque cada evento corresponde a escolher, para cada um dos
resultados, se ele pertence ou não ao evento).
Passo 6
Exemplo concreto para fixar (tomando
):
Se
, os subconjuntos são:
.
Contamos subconjuntos, e
. Aqui
, e a soma dá
.
Contamos
Outro exemplo de interpretação: sequências de
lançamentos de moeda justa — cada lançamento tem duas possibilidades (cara ou coroa), assim
sequências possíveis. Cada sequência corresponde a um subconjunto dos índices onde saiu, por exemplo, “caras”, estabelecendo a mesma contagem.
Passo 7
Resumo e finalização: a igualdade é verdadeira e tem duas interpretações equivalentes e úteis — uma combinatória (contagem de subconjuntos por tamanho) e outra algébrica (aplicação do Teorema do Binômio com
). Em termos de espaço amostral, se
então o número de eventos possíveis (subconjuntos de
) é
, que é exatamente a soma dos coeficientes binomiais.
Resposta
Sim.
.
Interpretação: a soma conta todos os subconjuntos de um conjunto com elementos (somando por tamanho), logo o número total de eventos em um espaço amostral com
resultados é
.
Interpretação: a soma conta todos os subconjuntos de um conjunto com