Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes que seguem distribuições normais N(0,1) e N\left(\mu, \sigma^{2}\right), respectivamente. Suponha que:
\left\{\begin{array}{l} P[Y>1]=0,8413 \\\ P[Y>9]=0,0228 \end{array}\right.
Então determine a esperança e o desvio padrão para esta variável.
Calcule: (a) P[X<2,41], (b) P[X<1,09];

Passo 1

O enunciado dá duas variáveis aleatórias independentes: X com distribuição N(0,1) e Y com distribuição N\left(\mu,\sigma^{2}\right). Além disso fornece duas probabilidades relacionadas a Y:
\left\{\begin{array}{l} P[Y>1]=0,8413,\\[4pt] P[Y>9]=0,0228. \end{array}\right.
O que nos pedem:
  • Determinar a esperança \mu e o desvio padrão \sigma de Y.
  • Calcular (a) P[X<2,41] e (b) P[X<1,09].
    Anotei todas as informações relevantes acima; agora vamos transformar essas probabilidades em equações que envolvem \mu e \sigma.]

Passo 2

Relembrando a padronização (a ideia-chave que vamos usar): se Y\sim N(\mu,\sigma^{2}) e Z\sim N(0,1) (normal padrão), então para qualquer constante a
P[Y\le a]=P\!\left[Z\le \frac{a-\mu}{\sigma}\right]=\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right),
onde \Phi é a função distribuição acumulada da normal padrão. Em particular,
P[Y>a]=1-\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\!\left(-\frac{a-\mu}{\sigma}\right).
Vou usar essas transformações para escrever as probabilidades dadas como valores de \Phi e identificar os respectivos valores z da normal padrão.

Passo 3

Usando a primeira informação P[Y>1]=0,8413. Primeiro passo: passar para P[Y\le 1]:
P[Y\le 1]=1-0,8413=0,1587.
Então
\Phi\!\left(\frac{1-\mu}{\sigma}\right)=0,1587.
Consultando a tabela da normal padrão ou sabendo valores clássicos, \Phi(-1)=0,1587. Logo temos
\frac{1-\mu}{\sigma}=-1.
Isto é uma relação linear entre \mu e \sigma. Reescrevendo:
1-\mu=-\sigma\quad\Rightarrow\quad \mu=1+\sigma.

Passo 4

Agora a segunda informação P[Y>9]=0,0228. Novamente passo para a cauda complementar:
P[Y\le 9]=1-0,0228=0,9772.
Logo
\Phi\!\left(\frac{9-\mu}{\sigma}\right)=0,9772.
Conhecendo a tabela, \Phi(2)=0,9772. Portanto
\frac{9-\mu}{\sigma}=2.
Isso fornece a segunda relação:
9-\mu=2\sigma\quad\Rightarrow\quad \mu=9-2\sigma.

Passo 5

Agora resolvemos o sistema formado pelas duas expressões para \mu\): \[\begin{cases} \mu=1+\sigma,\\[4pt] \mu=9-2\sigma. \end{cases}
Igualando as duas expressões:
1+\sigma=9-2\sigma.
Somando 2\sigma\] dos dois lados e subtraindo \(1:
3\sigma=8.
Logo
\sigma=\frac{8}{3}.
Substituindo em \mu=1+\sigma:
\mu=1+\frac{8}{3}=\frac{11}{3}.]

Passo 6

Interpretação numérica (útil para prova): \sigma=\dfrac{8}{3}\approx 2,6667 e \mu=\dfrac{11}{3}\approx 3,6667. Ambos fazem sentido (desvio padrão positivo etc.). Pronto: achamos esperança e desvio padrão de Y.

Passo 7

Agora calculamos as probabilidades pedidas para X. Como X\sim N(0,1), para qualquer z vale P[X<z]=\Phi(z). Portanto:
  • (a) P[X<2,41]=\Phi(2,41). Consultando a tabela da normal padrão, \Phi(2,41)\approx 0,9920.
  • (b) P[X<1,09]=\Phi(1,09). Consultando a tabela, \Phi(1,09)\approx 0,8621.
    Eu usei os valores tabelados clássicos da função \Phi para estes z.

Resposta

\mu=\dfrac{11}{3},\\ \sigma=\dfrac{8}{3}
(a) P[X<2,41]=0,9920
(b) P[X<1,09]=0,8621

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