Sejam
e
duas variáveis aleatórias independentes que seguem distribuições normais
e
, respectivamente. Suponha que:
Então determine a esperança e o desvio padrão para esta variável.
Calcule: (a)
, (b)
;
Calcule: (a)
Passo 1
O enunciado dá duas variáveis aleatórias independentes:
com distribuição
e
com distribuição
. Além disso fornece duas probabilidades relacionadas a
:
O que nos pedem:
- Determinar a esperança
e o desvio padrão de . - Calcular (a)
e (b) .
Anotei todas as informações relevantes acima; agora vamos transformar essas probabilidades em equações que envolveme .]
Passo 2
Relembrando a padronização (a ideia-chave que vamos usar): se
e
(normal padrão), então para qualquer constante
onde
é a função distribuição acumulada da normal padrão. Em particular,
Vou usar essas transformações para escrever as probabilidades dadas como valores de
e identificar os respectivos valores
da normal padrão.
Passo 3
Usando a primeira informação
. Primeiro passo: passar para
:
Então
Consultando a tabela da normal padrão ou sabendo valores clássicos,
. Logo temos
Isto é uma relação linear entre
e
. Reescrevendo:
Passo 4
Agora a segunda informação
. Novamente passo para a cauda complementar:
Logo
Conhecendo a tabela,
. Portanto
Isso fornece a segunda relação:
Passo 5
Agora resolvemos o sistema formado pelas duas expressões para
Igualando as duas expressões:
Somando
:
Logo
Substituindo em
:
Passo 6
Interpretação numérica (útil para prova):
e
. Ambos fazem sentido (desvio padrão positivo etc.). Pronto: achamos esperança e desvio padrão de
.
Passo 7
Agora calculamos as probabilidades pedidas para
. Como
, para qualquer
vale
. Portanto:
- (a)
. Consultando a tabela da normal padrão, . - (b)
. Consultando a tabela, .
Eu usei os valores tabelados clássicos da funçãopara estes .
Resposta
(a)
(b)