Sejam
,
e
. Encontre o valor de
quando
,
e
.
a) 40
b) 45
c) 192
d) 127
e) 201 .
a) 40
b) 45
c) 192
d) 127
e) 201 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
, onde
,
e
são funções de
,
e
. O objetivo é encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
, quando
,
e
.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra da Cadeia em cálculo multivariável, já que
depende de
,
e
, que por sua vez dependem de
. Vamos calcular passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar como
depende de
,
e
:
Queremos encontrar
, então vamos usar a Regra da Cadeia:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais de
:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
,
e
em relação a
:
Dadas as funções:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 5
Agora, vamos substituir todas essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
Passo 6
Antes de calcular, precisamos substituir
,
e
nas equações de
,
e
:
- Calculando
:
- Calculando
:
- Calculando
:
Passo 7
Agora, substituímos
,
,
,
,
e
na expressão de
:
Simplificando cada parte:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 8
Agora, somamos todos os termos:
Resposta
A derivada parcial
quando
,
e
é 160. Contudo, observando as alternativas fornecidas (40, 45, 192, 127, 201), parece que houve um erro no cálculo. Vamos revisar rapidamente:
Na substituição do segundo termo,
,
,
, então:
E o primeiro termo:
Somando:
Nenhuma das alternativas corresponde a 160. Pode haver um erro na interpretação do exercício ou nas alternativas fornecidas.