Sejam as equações,
em que
é uma constante. Mostre que
não é solução desta equação, mas que a funções
e
são soluções da equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação
com
e
constante, e pede para mostrar que:
-
não é solução; -
e são soluções.
Informações relevantes dadas:
-
são constantes (podem ser complexas ou reais conforme o contexto; aqui tratamos como parâmetros gerais); - a equação envolve derivadas parciais em
e em e tem o coeficiente complexo .
Passo 2
Antes de calcular, algumas ferramentas e ideias que vou usar — explicadinhas, passo a passo:
- Regra da cadeia para funções do tipo
: e análogo para . - Derivadas básicas:
Essas valem tanto com real quanto com complexo. - Linearidade do operador diferencial: se
é o operador , então é linear e podemos aplicar a somas e constantes multiplicativas normalmente. - Independência funcional de
e : uma combinação só é identicamente zero (para todo ) se . Isso é útil quando aparecerem termos em e separados.
Vou usar essas ideias para testar cada função.
Passo 3
Testando
.
Defina
. Então
Calcule as derivadas parciais necessárias:
Derivada segunda em
:
Derivada primeira em
:
Agora substituímos na equação:
Para que isto seja identicamente zero para todo
precisaríamos ter
Mas
e
são funções linearmente independentes (ou seja, não existe combinação não-trivial que anule ambas simultaneamente para todo
). Portanto as únicas possibilidades seriam
e
simultaneamente, ou
(solução trivial). Em particular, para parâmetros não-triviais (
,
e
e
não ambos zero) a combinação não pode ser zero. Conclusão: em geral
não é solução da equação (exceto no caso trivial
ou casos degenerados mencionados).
Passo 4
Agora testamos
.
Defina
e
.
Derivadas:
pois
.
Derivada em
:
Multiplicando por
:
Somando as duas partes da equação:
Portanto esta expressão é identicamente zero se, e somente se,
Ou seja, escolhendo
tal que
a função
satisfaz a equação. Conclusão:
é solução desde que a relação de dispersão acima seja satisfeita.
Passo 5
Agora testamos
.
Defina
e
.
Derivadas:
(igual ao caso anterior quanto à parte em
),
Multiplicando por
:
Somando:
Isto é zero se, e somente se,
Ou seja, escolhendo
a função
satisfaz a equação. Conclusão:
é solução quando
.
Passo 6
Breve comentário didático final (para fixar a intuição, sem cálculo extra): as exponenciais complexas são particularmente convenientes para testar equações lineares com coeficientes constantes porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial — isso transforma a equação diferencial numa condição algébrica (a relação de dispersão). Já a função
gera, ao derivar, termos em
e
simultaneamente; quando o operador mistura essas funções com coeficientes complexos, não é possível cancelar ambos os termos com um único ajuste de
(salvo no caso trivial
). Por isso a solução em exponenciais complexas existe com a condição de dispersão indicada, enquanto a forma trigonométrica real dada no enunciado não é solução geral.