Questão:
Mostre que as duas equações horárias abaixo, características de uma oscilação amortecida subcrítica, são equivalentes:
e
onde
e
são constantes que devem ser ajustadas às condições iniciais. Como elas se relacionam?
Passo 1
O enunciado nos dá duas formas da mesma solução (oscilação amortecida subcrítica) e pede para mostrar que elas são equivalentes e como os parâmetros se relacionam. As duas equações são:
e
onde
são constantes (e
são dadas). O que precisamos demonstrar:
- que as duas expressões representam a mesma família de funções (são equivalentes),
- encontrar fórmulas que relacionem
e com e (e também as inversas).
Passo 2
Vamos expandir a primeira expressão em termos de
e
usando a identidade de soma de ângulos
Aplicando com
e
obtemos
Multiplicando por
fica
Portanto, na primeira forma os coeficientes multiplicando
e
são, respectivamente,
Passo 3
Agora expandimos a segunda expressão usando as identidades de soma de ângulos para as constantes
e
.
Primeiro:
Primeiro:
Segundo:
Somando com os coeficientes
e
,
Logo, na segunda forma os coeficientes são
Passo 4
As funções
e
são linearmente independentes (não há combinação constante que anule uma para todo
), e o fator comum
é não nulo. Portanto, para as duas expressões serem idênticas para todo
basta igualar coeficientes das duas expansões. Igualando os coeficientes obtidos nos Passos 2 e 3:
Multiplicando ambas as equações por
:
Passo 5
Resolva o sistema para
e
em função de
e
. Soma e subtração das equações dão:
logo
E
logo
Assim:
Passo 6
Agora expressamos
e
em função de
e
(fórmulas inversas). Da igualdade dos coeficientes temos
Portanto, elevando ao quadrado e somando as duas equações:
Como
, deduzimos
Fazendo as contas resulta a forma simples
Para o ângulo
podemos dividir as duas equações (sin sobre cos) e obter
Logo
onde
indica a função arco-tangente que leva em conta o quadrante correto (ajuste de
se necessário).
Passo 7
Conclusão prática: qualquer escolha de
produz certos
pelas fórmulas do Passo 5, e qualquer escolha de
determina
pelas fórmulas do Passo 6. Assim as duas formas dadas para
são equivalentes, e os parâmetros se relacionam conforme abaixo.