6^{\text {a }} Questão:

Mostre que as duas equações horárias abaixo, características de uma oscilação amortecida subcrítica, são equivalentes:
x(t)=A e^{-\frac{\gamma}{2} t} \cos (\omega t+\varphi) e \quad x(t)=e^{-\frac{\gamma}{2} t}\left(B \cos \left(\omega t+\frac{\pi}{3}\right)+C \operatorname{sen}\left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right)\right) onde A, B, C e \varphi são constantes que devem ser ajustadas às condições iniciais. Como elas se relacionam?

Passo 1

O enunciado nos dá duas formas da mesma solução (oscilação amortecida subcrítica) e pede para mostrar que elas são equivalentes e como os parâmetros se relacionam. As duas equações são:
x(t)=A e^{-\frac{\gamma}{2} t}\cos(\omega t+\varphi)
e
x(t)=e^{-\frac{\gamma}{2} t}\Bigl(B\cos\bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{3}\bigr)+C\sin\bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{6}\bigr)\Bigr),
onde A,B,C,\varphi são constantes (e \gamma,\omega são dadas). O que precisamos demonstrar:
  • que as duas expressões representam a mesma família de funções (são equivalentes),
  • encontrar fórmulas que relacionem A e \varphi com B e C (e também as inversas).

Passo 2

Vamos expandir a primeira expressão em termos de \cos(\omega t) e \sin(\omega t) usando a identidade de soma de ângulos
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.
Aplicando com \alpha=\omega t e \beta=\varphi obtemos
\cos(\omega t+\varphi)=\cos(\omega t)\cos\varphi-\sin(\omega t)\sin\varphi.
Multiplicando por A e^{-\frac{\gamma}{2}t} fica
x(t)=e^{-\frac{\gamma}{2}t}\bigl(A\cos\varphi\;\cos(\omega t)-A\sin\varphi\;\sin(\omega t)\bigr).
Portanto, na primeira forma os coeficientes multiplicando \cos(\omega t) e \sin(\omega t) são, respectivamente,
\text{coef}_{\cos} = A\cos\varphi,\qquad \text{coef}_{\sin} = -A\sin\varphi.

Passo 3

Agora expandimos a segunda expressão usando as identidades de soma de ângulos para as constantes \tfrac{\pi}{3} e \tfrac{\pi}{6}.
Primeiro:
\cos\bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\cos(\omega t)\cos\tfrac{\pi}{3}-\sin(\omega t)\sin\tfrac{\pi}{3} =\cos(\omega t)\cdot\tfrac{1}{2}-\sin(\omega t)\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Segundo:
\sin\bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\sin(\omega t)\cos\tfrac{\pi}{6}+\cos(\omega t)\sin\tfrac{\pi}{6} =\sin(\omega t)\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}+\cos(\omega t)\cdot\tfrac{1}{2}.
Somando com os coeficientes B e C,
B\cos\bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{3}\bigr)+C\sin\bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{6}\bigr)
= \Bigl(B\cdot\tfrac{1}{2}+C\cdot\tfrac{1}{2}\Bigr)\cos(\omega t) +\Bigl(-B\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}+C\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)\sin(\omega t).
Logo, na segunda forma os coeficientes são
\text{coef}_{\cos}=\tfrac{B+C}{2},\qquad \text{coef}_{\sin}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}(C-B).

Passo 4

As funções \cos(\omega t) e \sin(\omega t) são linearmente independentes (não há combinação constante que anule uma para todo t), e o fator comum e^{-\frac{\gamma}{2}t} é não nulo. Portanto, para as duas expressões serem idênticas para todo t basta igualar coeficientes das duas expansões. Igualando os coeficientes obtidos nos Passos 2 e 3:
A\cos\varphi=\tfrac{B+C}{2}, \qquad -A\sin\varphi=\tfrac{\sqrt{3}}{2}(C-B).
Multiplicando ambas as equações por 2:
2A\cos\varphi=B+C, \qquad -2A\sin\varphi=\sqrt{3}\,(C-B).

Passo 5

Resolva o sistema para B e C em função de A e \varphi. Soma e subtração das equações dão:
(B+C)+(C-B)=2C=2A\cos\varphi-\frac{2A\sin\varphi}{\sqrt{3}},
logo
C=A\Bigl(\cos\varphi-\frac{\sin\varphi}{\sqrt{3}}\Bigr).
E
(B+C)-(C-B)=2B=2A\cos\varphi+\frac{2A\sin\varphi}{\sqrt{3}},
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B=A\Bigl(\cos\varphi+\frac{\sin\varphi}{\sqrt{3}}\Bigr).
Assim:
B=A\Bigl(\cos\varphi+\frac{1}{\sqrt{3}}\sin\varphi\Bigr), \qquad C=A\Bigl(\cos\varphi-\frac{1}{\sqrt{3}}\sin\varphi\Bigr).

Passo 6

Agora expressamos A e \varphi em função de B e C (fórmulas inversas). Da igualdade dos coeficientes temos
2A\cos\varphi=B+C, \qquad 2A\sin\varphi=\!-\frac{\sqrt{3}}{\,}\!(C-B)=\frac{\sqrt{3}}{\,}(B-C).
Portanto, elevando ao quadrado e somando as duas equações:
(2A)^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=(B+C)^2+3(B-C)^2.
Como \cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1, deduzimos
4A^2=(B+C)^2+3(B-C)^2.
Fazendo as contas resulta a forma simples
A^2=B^2-BC+C^2, \qquad\text{isto é}\qquad A=\sqrt{B^2-BC+C^2}.é
Para o ângulo \varphi podemos dividir as duas equações (sin sobre cos) e obter
\tan\varphi=\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi} =\frac{\frac{\sqrt{3}}{2A}(B-C)}{\frac{1}{2A}(B+C)} =\frac{\sqrt{3}\,(B-C)}{B+C}.
Logo
\varphi=\operatorname{atan2}\!\Bigl(\sqrt{3}(B-C),\,B+C\Bigr),
onde \operatorname{atan2} indica a função arco-tangente que leva em conta o quadrante correto (ajuste de \pi se necessário).

Passo 7

Conclusão prática: qualquer escolha de A,\varphi produz certos B,C pelas fórmulas do Passo 5, e qualquer escolha de B,C determina A,\varphi pelas fórmulas do Passo 6. Assim as duas formas dadas para x(t) são equivalentes, e os parâmetros se relacionam conforme abaixo.

Resposta

B=A\Bigl(\cos\varphi+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sin\varphi\Bigr)
C=A\Bigl(\cos\varphi-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sin\varphi\Bigr)
A=\sqrt{B^2-BC+C^2}
\varphi=\operatorname{atan2}\!\Bigl(\sqrt{3}(B-C),\,B+C\Bigr)

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