Questão:
Uma onda harmônica propaga-se ao longo de uma corda de densidade
com velocidade de
. O deslocamento das partículas da corda em
varia com o tempo de acordo com a equação
. (a) Qual a frequência em Hz da onda? (b) Qual o comprimento de onda? (c) Que equação geral fornece os deslocamentos transversais das partículas da corda como função da posição e do tempo? (d) Qual a intensidade da força de tração na corda?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as perguntas (peguei tudo do enunciado):
- Densidade linear da corda:
. - Velocidade de propagação da onda:
. - Em
o deslocamento varia com o tempo segundo - Perguntas:
(a) Qual a frequência em hertz da onda?
(b) Qual o comprimento de onda?
(c) Qual a equação geralque dá o deslocamento em função de e ?
(d) Qual a intensidade da força de tração na corda (tensão)?
Passo 2
Identificar a frequência a partir da pulsação angular. A forma temporal dentro do cosseno é
com
sendo a pulsação angular (em rad/s). Aqui o termo multiplicando
é
, logo
A relação entre frequência
(em Hz) e
é
onde
é o número de radianos em uma volta completa. Substituindo:
Explicação curta:
conta quantos radianos por segundo a fase gira; dividir por
dá voltas por segundo, que é exatamente a frequência.
Passo 3
Determinar o número de onda
. Para uma onda que se propaga com velocidade
vale a relação
ou equivalentemente
. Aqui
e
, então
Explicação:
mede quantos radianos de fase se acumulam por metro; é a “frequência espacial”.
Passo 4
Calcular o comprimento de onda
. Relação entre
e
:
Substituindo
:
Verificação alternativa (mesma conta):
, que dá o mesmo valor.
Passo 5
Montar a forma geral da onda e explicar as letras. A forma padrão de uma onda harmônica viajando é
onde:
-
é a amplitude (magnitude máxima do deslocamento), -
é o número de onda (rad/m), -
é a pulsação angular (rad/s), -
é uma fase inicial (rad) que desloca a onda espacialmente/temporalmente.
No enunciado, em
a fase espacial mais a fase inicial menos
é
. Ou seja, para
Como já encontramos
e
, podemos achar
resolvendo a condição no instante simbólico (a igualdade de expressões para todo
demanda os mesmos coeficientes de
e a mesma constante):
Calcule
:
Logo
Portanto a equação geral é
Observação: pode-se escrever
decimalmente
e
se preferir números decimais.
Passo 6
Checagem rápida (consistência): ao substituir
na equação encontrada,
que recupera exatamente a fase dada no enunciado — ótimo, está consistente.
Passo 7
Calcular a tensão
da corda. Para ondas transversais em uma corda sob tração vale a relação
onde
é a tensão (N) e
a massa por unidade de comprimento (kg/m). Isolando
:
Substituindo
e
:
Explicação: essa fórmula vem do equilíbrio entre a inércia das pequenas porções da corda e a força resultante produzida pela tensão que gera a aceleração necessária para a propagação da onda.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)