7{ }^{\text {a }} Questão:

Uma onda harmônica propaga-se ao longo de uma corda de densidade 0.4 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} com velocidade de 0.75 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O deslocamento das partículas da corda em \mathrm{x}=0.12 \mathrm{~m} varia com o tempo de acordo com a equação \mathrm{y}=(0.05 \mathrm{~m}) \cos [(1.2 \mathrm{rad})-(5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}) \mathrm{t}]. (a) Qual a frequência em Hz da onda? (b) Qual o comprimento de onda? (c) Que equação geral fornece os deslocamentos transversais das partículas da corda como função da posição e do tempo? (d) Qual a intensidade da força de tração na corda?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as perguntas (peguei tudo do enunciado):
  • Densidade linear da corda: \mu=0,4\\ \mathrm{kg/m}.
  • Velocidade de propagação da onda: v=0,75\\ \mathrm{m/s}.
  • Em x=0{,}12\\ \mathrm{m} o deslocamento varia com o tempo segundo y=(0{,}05\\ \mathrm{m})\cos\bigl[(1{,}2\\ \mathrm{rad})-(5\\ \mathrm{rad/s})\,t\bigr].
  • Perguntas:
    (a) Qual a frequência em hertz da onda?
    (b) Qual o comprimento de onda \lambda?
    (c) Qual a equação geral y(x,t) que dá o deslocamento em função de x e t?
    (d) Qual a intensidade da força de tração na corda (tensão T)?

Passo 2

Identificar a frequência a partir da pulsação angular. A forma temporal dentro do cosseno é -\omega t com \omega sendo a pulsação angular (em rad/s). Aqui o termo multiplicando t é 5\\ \mathrm{rad/s}, logo
\omega = 5\\ \mathrm{rad/s}.
A relação entre frequência f (em Hz) e \omega é
f=\frac{\omega}{2\pi},
onde 2\pi é o número de radianos em uma volta completa. Substituindo:
f=\frac{5}{2\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx 0{,}796\\ \mathrm{Hz}.
Explicação curta: \omega conta quantos radianos por segundo a fase gira; dividir por 2\pi dá voltas por segundo, que é exatamente a frequência.

Passo 3

Determinar o número de onda k. Para uma onda que se propaga com velocidade v vale a relação
v=\frac{\omega}{k},
ou equivalentemente k=\dfrac{\omega}{v}. Aqui \omega=5\\ \mathrm{rad/s} e v=0{,}75\\ \mathrm{m/s}, então
k=\frac{5}{0{,}75}=\frac{20}{3}\\ \mathrm{rad/m}\approx 6{,}6667\\ \mathrm{rad/m}.
Explicação: k mede quantos radianos de fase se acumulam por metro; é a “frequência espacial”.

Passo 4

Calcular o comprimento de onda \lambda. Relação entre k e \lambda:
k=\frac{2\pi}{\lambda}\quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{2\pi}{k}.
Substituindo k=\dfrac{20}{3}:
\lambda=\frac{2\pi}{20/3}= \frac{2\pi\cdot 3}{20}=\frac{3\pi}{10}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}942\\ \mathrm{m}.
Verificação alternativa (mesma conta): \lambda=v/f=0{,}75/(5/(2\pi))=0{,}75\cdot 2\pi/5, que dá o mesmo valor.

Passo 5

Montar a forma geral da onda e explicar as letras. A forma padrão de uma onda harmônica viajando é
y(x,t)=A\cos\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr),
onde:
  • A é a amplitude (magnitude máxima do deslocamento),
  • k é o número de onda (rad/m),
  • \omega é a pulsação angular (rad/s),
  • \varphi é uma fase inicial (rad) que desloca a onda espacialmente/temporalmente.
No enunciado, em x=0{,}12\\ \mathrm{m} a fase espacial mais a fase inicial menos \omega t é 1{,}2-5t. Ou seja, para x=0{,}12
kx - \omega t + \varphi = 1{,}2 - 5t.
Como já encontramos k=\dfrac{20}{3} e \omega=5, podemos achar \varphi resolvendo a condição no instante simbólico (a igualdade de expressões para todo t demanda os mesmos coeficientes de t e a mesma constante):
k(0{,}12)+\varphi = 1{,}2.
Calcule k(0{,}12):
k(0{,}12)=\frac{20}{3}\cdot 0{,}12=\frac{20\cdot 0{,}12}{3}=\frac{2{,}4}{3}=0{,}8.
Logo
\varphi = 1{,}2-0{,}8=0{,}4\\ \mathrm{rad}.
Portanto a equação geral é
y(x,t)=(0{,}05\\ \mathrm{m})\cos\!\Bigl(\frac{20}{3}\,x-5\,t+0{,}4\Bigr).
Observação: pode-se escrever k decimalmente k\approx 6{,}6667\\ \mathrm{rad/m} e \varphi=0{,}4\\ \mathrm{rad} se preferir números decimais.

Passo 6

Checagem rápida (consistência): ao substituir x=0{,}12 na equação encontrada,
\frac{20}{3}\cdot 0{,}12-5t+0{,}4=0{,}8-5t+0{,}4=1{,}2-5t,
que recupera exatamente a fase dada no enunciado — ótimo, está consistente.

Passo 7

Calcular a tensão T da corda. Para ondas transversais em uma corda sob tração vale a relação
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde T é a tensão (N) e \mu a massa por unidade de comprimento (kg/m). Isolando T:
T=\mu v^{2}.
Substituindo \mu=0{,}4\\ \mathrm{kg/m} e v=0{,}75\\ \mathrm{m/s}:
T=0{,}4\cdot(0{,}75)^{2}=0{,}4\cdot 0{,}5625=0{,}225\\ \mathrm{N}.
Explicação: essa fórmula vem do equilíbrio entre a inércia das pequenas porções da corda e a força resultante produzida pela tensão que gera a aceleração necessária para a propagação da onda.

Resposta

(a) f=\dfrac{5}{2\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx 0{,}796\\ \mathrm{Hz}
(b) \lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{3\pi}{10}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}942\\ \mathrm{m}
(c) y(x,t)=(0{,}05\\ \mathrm{m})\cos\!\Bigl(\dfrac{20}{3}\,x-5\,t+0{,}4\Bigr)
(d) T=\mu v^{2}=0{,}225\\ \mathrm{N}

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