(1,0) Sejam
um espaço vetorial de dimensão finita e
um operador linear. Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações abaixo. Prove as verdadeiras e dê contra-exemplo para as falsas.
( )
A união de dois conjuntos linearmente independentes de um espaço vetorial
é ainda um conjunto linearmente independente;
( ) (0,25) O vetor
pertence ao subespaço gerado por
e
;
( )
Para todo operador linear
, temos
;
( )
Se a transformação linear
é injetiva, então
.
( )
( ) (0,25) O vetor
( )
( )
Passo 1
O enunciado pede para classificar quatro afirmações sobre um espaço vetorial de dimensão finita
e um operador linear
. Os tópicos são: união de conjuntos linearmente independentes, pertencimento a subespaço gerado, decomposição
e relação entre injetividade e dimensão da imagem. Vamos analisar cada afirmação em separado, provando as verdadeiras e dando contra-exemplos para as falsas.
Passo 2
Afirmação 1: “A união de dois conjuntos linearmente independentes de
é ainda um conjunto linearmente independente.”
Isto é falso. Contra-exemplo em : seja
Isto é falso. Contra-exemplo em
Cada um deles é linearmente independente (tem um único vetor não nulo). Mas
é linearmente dependente, pois
, ou seja existe combinação não trivial que zera:
Passo 3
Afirmação 2: “O vetor
pertence ao subespaço gerado por
e
.”
Também é falsa, basta tentar resolver
Também é falsa, basta tentar resolver
Isso dá o sistema
a última equação é impossível. Logo
.
Passo 4
Afirmação 3: “Para todo operador linear
, temos
.”
Isto é falso em geral. Contra-exemplo em com
Isto é falso em geral. Contra-exemplo em
Então
Ambos são a mesma reta em
. Logo
é apenas essa reta, não cobre todo
, portanto não se escreve
.
Passo 5
Afirmação 4: “Se a transformação linear
é injetiva, então
.”
Isto é verdadeiro. Pelo Teorema da Dimensão (posto-nulidade), para qualquer temos
Isto é verdadeiro. Pelo Teorema da Dimensão (posto-nulidade), para qualquer
Se
é injetiva então
, logo
.
Resposta
(F)
(F)
(F)
(V)
(F)
(F)
(V)