(1,0) Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e T: V V um operador linear. Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações abaixo. Prove as verdadeiras e dê contra-exemplo para as falsas.
( ) (0,25) A união de dois conjuntos linearmente independentes de um espaço vetorial V é ainda um conjunto linearmente independente;
( ) (0,25) O vetor w=(2,3,-1) pertence ao subespaço gerado por u=(1,0,0) e v=(1,1,0);
( ) (0,25) Para todo operador linear T: V V, temos V=Ker(T) oplus Im(T);
( ) (0,25) Se a transformação linear T: R^m R^n é injetiva, então dim Im(T)=m.

Passo 1

O enunciado pede para classificar quatro afirmações sobre um espaço vetorial de dimensão finita V e um operador linear T:Vto V. Os tópicos são: união de conjuntos linearmente independentes, pertencimento a subespaço gerado, decomposição V=ker ToplusImT e relação entre injetividade e dimensão da imagem. Vamos analisar cada afirmação em separado, provando as verdadeiras e dando contra-exemplos para as falsas.

Passo 2

Afirmação 1: “A união de dois conjuntos linearmente independentes de V é ainda um conjunto linearmente independente.”
Isto é falso. Contra-exemplo em R^2: seja
S=(1,0), T=(2,0)
Cada um deles é linearmente independente (tem um único vetor não nulo). Mas
Scup T=(1,0),(2,0)
é linearmente dependente, pois (2,0)=2,(1,0), ou seja existe combinação não trivial que zera:
2,(1,0)-1,(2,0)=(0,0)

Passo 3

Afirmação 2: “O vetor w=(2,3,-1) pertence ao subespaço gerado por u=(1,0,0) e v=(1,1,0).”
Também é falsa, basta tentar resolver
a,(1,0,0)+b,(1,1,0)=(2,3,-1)
Isso dá o sistema
a+b=2, b=3, 0=-1,
a última equação é impossível. Logo wnotinSpanu,v.

Passo 4

Afirmação 3: “Para todo operador linear T:Vto V, temos V=ker ToplusImT.”
Isto é falso em geral. Contra-exemplo em V=R^2 com
T(x,y)=(y,0)
Então
ker T=(x,0)mid xinR, ImT=(y,0)mid yinR
Ambos são a mesma reta em R^2. Logo ker T+ImT é apenas essa reta, não cobre todo R^2, portanto não se escreve R^2=ker ToplusImT.

Passo 5

Afirmação 4: “Se a transformação linear T:R^mtoR^n é injetiva, então dimImT=m.”
Isto é verdadeiro. Pelo Teorema da Dimensão (posto-nulidade), para qualquer T:R^mtoR^n temos
dimker T+dimImT = m
Se T é injetiva então dimker T=0, logo dimImT=m.

Resposta

(F)
(F)
(F)
(V)

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