(1, 0) Sabe-se que V=(x, y) in R^2 ; x>0 e y>0 é um espaço vetorial real, munido das seguintes operações: +: V times V V e cdot: R times V V, definidas, respectivamente, por
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1 cdot x2, y1 cdot y2) e alpha cdot(x1, y1)=(x1^alpha, y1^alpha)
para quaisquer (x1, x2),(y1, y2) in V e alpha in R.
(a) (0,25) Prove a propriedade distributiva da multiplicação por escalar pela soma. Além disso, determine o elemento neutro da soma e o simétrico de um vetor (x, y) in V;
(b) (0,25) Exiba uma base de V e dê sua dimensão;
(c) (0,25) Determine as coordenadas do vetor v=(3,5), com relação à base obtida no item anterior;
(d) (0,25) O conjunto U=(1,2^x) ; x in R é um subespaço vetorial de V ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define
V = (x,y)inR^2 : x>0,;y>0
com as operações
(x1,y1)+(x2,y2) = (x1x2,;y1y2), alphacdot(x1,y1) = (x1^alpha,;y1^alpha)
Precisamos:
(a) mostrar alphacdot(v+w)=alphacdot v+alphacdot w, achar o neutro da soma e o simétrico de (x,y);
(b) exibir uma base de V e a dimensão;
(c) coordenadas de v=(3,5) nessa base;
(d) ver se U=(1,2^x)colon xin R é subespaço.

Passo 2

Provar a distributividade alphacdot(v+w)=alphacdot v+alphacdot w.
Tomemos v=(x1,y1), w=(x2,y2) e alphain R. Então
v+w = (x1x2,;y1y2),
logo
alphacdot(v+w) =l((x1x2)^alpha,,(y1y2)^alphar) =l(x1^alpha x2^alpha,;y1^alpha y2^alphar)
Por outro lado,
alphacdot v + alphacdot w =l(x1^alpha,y1^alphar) +l(x2^alpha,y2^alphar) =l(x1^alpha x2^alpha,;y1^alpha y2^alphar)
Logo alphacdot(v+w)=alphacdot v+alphacdot w.

Passo 3

Determinar o neutro da soma e o simétrico de (x,y).
O neutro 0V satisfaz
(x,y)+0V = (x,y)
Isto é,
(x,y)+(e1,e2) = (x,e1,;y,e2) = (x,y) implies e1=e2=1
Logo 0V=(1,1).
O simétrico de (x,y) é (x',y') tal que
(x,y)+(x',y')=(1,1),
logo x'=1/x e y'=1/y. Observe que (-1)cdot(x,y)=(x^-1,y^-1), coincide com esse simétrico.

Passo 4

Exibir uma base de V e dar a dimensão.
Use o isomorfismo
phi:Vto R^2, phi(x,y)=(ln x,ln y)
A base canônica de R^2 é (1,0),(0,1). Puxando-a para V obtemos
phi^-1(1,0) = (e,1), phi^-1(0,1) = (1,e)
Logo
B = (e,1),,(1,e)
é uma base de V. Como são dois vetores independentes, dim V=2.

Passo 5

Determinar as coordenadas de v=(3,5) na base B.
Procuramos alpha,beta tais que
v = alphacdot(e,1) + betacdot(1,e)
Pela definição de soma,
v = l(e^alphacdot1^beta,;1^alphacdot e^betar) = (e^alpha,e^beta)
Comparando com (3,5) vem
e^alpha=3, e^beta=5 ;Longrightarrow; alpha=ln3,;beta=ln5
Portanto as coordenadas de v em B são (ln3,ln5).

Passo 6

Verificar se U=(1,2^x):xin R é subespaço de V.
  1. Neutro: (1,1)in U? Tomando x=0 obtemos (1,2^0)=(1,1), sim.
  2. Fechamento em soma:
(1,2^x1) + (1,2^x2) = (1cdot1,;2^x12^x2) = (1,2^x1+x2)in U
  1. Fechamento em escalar:
alphacdot(1,2^x) = (1^alpha,;(2^x)^alpha) = (1,2^alpha x)in U
Logo U é subespaço vetorial de V.

Resposta

(a) A distributividade ficou comprovada por
alphacdot(v+w)=l(x1^alpha x2^alpha,;y1^alpha y2^alphar) =alphacdot v + alphacdot w
O elemento neutro é (1,1) e o simétrico de (x,y) é (x^-1,y^-1).
(b) Uma base é (e,1),(1,e) e dim V=2.
(c) As coordenadas de (3,5) nessa base são (ln3,ln5).
(d) U é subespaço vetorial de V.

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