(1, 0) Sabe-se que
e
é um espaço vetorial real, munido das seguintes operações:
, definidas, respectivamente, por
para quaisquer
e
.
(a)
Prove a propriedade distributiva da multiplicação por escalar pela soma. Além disso, determine o elemento neutro da soma e o simétrico de um vetor
;
(b)
Exiba uma base de
e dê sua dimensão;
(c)
Determine as coordenadas do vetor
, com relação à base obtida no item anterior;
(d)
O conjunto
é um subespaço vetorial de
? Justifique.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado define
com as operações
Precisamos:
(a) mostrar , achar o neutro da soma e o simétrico de
;
(b) exibir uma base de e a dimensão;
(c) coordenadas de nessa base;
(d) ver se é subespaço.
(a) mostrar
(b) exibir uma base de
(c) coordenadas de
(d) ver se
Passo 2
Provar a distributividade
.
Tomemos ,
e
. Então
Tomemos
logo
Por outro lado,
Logo
.
Passo 3
Determinar o neutro da soma e o simétrico de
.
O neutro satisfaz
O neutro
Isto é,
Logo
.
O simétrico de é
tal que
O simétrico de
logo
e
. Observe que
, coincide com esse simétrico.
Passo 4
Exibir uma base de
e dar a dimensão.
Use o isomorfismo
Use o isomorfismo
A base canônica de
é
. Puxando-a para
obtemos
Logo
é uma base de
. Como são dois vetores independentes,
.
Passo 5
Determinar as coordenadas de
na base
.
Procuramos tais que
Procuramos
Pela definição de soma,
Comparando com
vem
Portanto as coordenadas de
em
são
.
Passo 6
Verificar se
é subespaço de
.
- Neutro:
? Tomando obtemos , sim. - Fechamento em soma:
- Fechamento em escalar:
Logo
é subespaço vetorial de
.
Resposta
(a) A distributividade ficou comprovada por
O elemento neutro é
e o simétrico de
é
.
(b) Uma base é e
.
(c) As coordenadas de nessa base são
.
(d) é subespaço vetorial de
.
(b) Uma base é
(c) As coordenadas de
(d)