Usando as relações trigonométricas \left\{\begin{aligned} \cos (a+b) & =\cos a \cos b-\sin a \sin b \\\ \cos (a-b) & =\cos a \cos b+\sin a \sin b \\\ \sin (a+b) & =\sin a \cos b+\sin b \cos a \\\ \sin (a-b) & =\sin a \cos b-\sin b \cos a \end{aligned}\right. mostre as seguintes relações: 2 \sin \frac{x}{2} \sin k x=\cos \left(\frac{x}{2}-k x\right)-\cos \left(\frac{x}{2}+k x\right)=\cos \left(\frac{2 k-1}{2}\right) x-\cos \left(\frac{2 k+1}{2}\right) x. 2 \sin \frac{x}{2} \sum_{k=1}^{n} \sin k x=\cos \left(\frac{x}{2}\right)-\cos \left(n+\frac{1}{2}\right) x. \cos \left(\frac{x}{2}\right)-\cos \left(n+\frac{1}{2}\right) x=\cos \left(\frac{x}{2}\right)(1-\cos n x)+\sin \left(\frac{x}{2}\right) \sin n x. (1-\cos n x)=2 \sin ^{2}\left(\frac{n x}{2}\right). 2 \sin \frac{x}{2} \sum_{k=1}^{n} \sin k x=2 \sin \left(\frac{n x}{2}\right) \sin \left(\frac{n+1}{2}\right) x. Passo 1O enunciado pede para mostrar várias identidades trigonométricas envolvendo produtos e somas de senos, usando as fórmulas de soma e diferença \begin{aligned} \cos(a\pm b)&=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b,\\\ \sin(a\pm b)&=\sin a\cos b\pm\sin b\cos a, \end{aligned} além de telescopar somas e usar identidades pitagóricas. Passo 2Começamos com a identidade produto-para-soma 2\sin A\sin B=\cos(A-B)-\cos(A+B). Tomando A=kx e B=\tfrac{x}{2}, temos 2\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,\sin(kx) =\cos\bigl(kx-\tfrac{x}{2}\bigr)-\cos\bigl(kx+\tfrac{x}{2}\bigr) =\cos\!\bigl(\tfrac{2k-1}{2}x\bigr)-\cos\!\bigl(\tfrac{2k+1}{2}x\bigr). Passo 3Agora somamos para k=1,2,\dots,n: 2\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\sum_{k=1}^n\sin(kx) =\sum_{k=1}^n\Bigl[\cos\!\bigl(\tfrac{2k-1}{2}x\bigr)-\cos\!\bigl(\tfrac{2k+1}{2}x\bigr)\Bigr]. Essa soma telescopa, pois para cada k o -\cos(\tfrac{2k+1}{2}x) cancela o +\cos(\tfrac{2(k+1)-1}{2}x). Sobra \cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)-\cos\!\bigl(\tfrac{2n+1}{2}x\bigr) =\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)-\cos\!\bigl(n+\tfrac12\bigr)x. Passo 4Expandimos \cos\bigl((n+\tfrac12)x\bigr)=\cos(nx+x/2) pela fórmula de soma: \cos(nx+x/2) =\cos(nx)\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)-\sin(nx)\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr). Logo \cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)-\cos\!\bigl(n+\tfrac12\bigr)x =\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\bigl[1-\cos(nx)\bigr] +\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,\sin(nx). Passo 5Usamos a identidade pitagórica 1-\cos(nx)=2\sin^2\!\bigl(\tfrac{nx}{2}\bigr). Passo 6Substituindo em \cos(\tfrac{x}{2})(1-\cos(nx))+\sin(\tfrac{x}{2})\sin(nx), obtemos 2\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\sin^2\!\bigl(\tfrac{nx}{2}\bigr) +2\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{nx}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{nx}{2}\bigr). Fatorando 2\sin(\tfrac{nx}{2}) e reconhecendo \sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B com A=\tfrac{nx}{2}, B=\tfrac{x}{2}, vem 2\sin\!\bigl(\tfrac{nx}{2}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n+1}{2}x\bigr). Assim concluímos 2\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\sum_{k=1}^n\sin(kx) =2\sin\!\bigl(\tfrac{nx}{2}\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{n+1}{2}x\bigr). Resposta 2\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\sin(kx) =\cos\!\bigl(\tfrac{2k-1}{2}x\bigr)-\cos\!\bigl(\tfrac{2k+1}{2}x\bigr). 2\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\sum_{k=1}^n\sin(kx) =\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)-\cos\!\bigl(n+\tfrac12\bigr)x. \cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)-\cos\!\bigl(n+\tfrac12\bigr)x =\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\bigl[1-\cos(nx)\bigr] +\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\sin(nx). 1-\cos(nx)=2\sin^2\!\bigl(\tfrac{nx}{2}\bigr). 2\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\sum_{k=1}^n\sin(kx) =2\sin\!\bigl(\tfrac{nx}{2}\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{n+1}{2}x\bigr). MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosUma função f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} é dita lipschitziana se dados x, y \in[0,1] existe uma constante \kappa positiva tal que |f(x)-f(y)| \leq \kappa|x-y| Prove que f(x)=\cos x é lipschitziana. Seja f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} limitada é integrável. Prove que F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t é lipschitziana. Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua tal que f(x+y)=f(x)+f(y) \forall x, y \in \mathbb{R}. Se f(1)=1 mostre que f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}. Sejam f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} uma função limitada e integrável e F:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} uma primitiva de f. Use o TVM para concluir que existe c \in[a, b] de maneira que \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) d x=f\text{(c)}. Sejam f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} uma função limitada e integrável e F:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} uma primitiva de f. Use o TVM para concluir que existe c \in[a, b] de maneira que \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) d x=f\text{(c)}.