Sejam F um campo vetorial contínuo no aberto Omega subset R^n, gamma1:[a, b] Omega e gamma2:[c, d] Omega duas curvas de classe C^1. Mostre que se gamma2 é obtida de gamma1 por uma mudança de parâmetro que reverte a orientação (isto é, se gamma2(u)=gamma1(g(u)), com g de classe C^1, Im g=[a, b] e g^prime(u)<0, para todo u in(c, d) ), então integralgamma1 F cdot d gamma1=-integralgamma2 F cdot d gamma2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a curva γ₂ é obtida de γ₁ por uma mudança de parâmetro u↦t=g(u) que inverte a orientação (com g′(u)<0), então a integral de linha satisfaz
integralγ₁Fcdot dγ₁ = -integralγ₂Fcdot dγ₂
O conteúdo envolvido é a definição de integral de linha de campo vetorial e a regra de mudança de variável em integrais.

Passo 2

Para começar, lembramos que a integral de linha de um campo vetorial F:OmegatoR^n ao longo de uma curva parametrizada gamma:[a,b]toOmega é dada por
integralgammaFcdot dgamma = integrala^b F(gamma(t)) cdot gamma'(t),dt
Isso segue da ideia de somar produtos escalares de F(gamma(t)) com o elemento de arco dgamma=gamma'(t)dt.

Passo 3

Agora, como gamma2(u)=gamma1(g(u)) com g':[c,d]to[a,b] de classe C^1 e g'(u)<0, podemos escrever
integralgamma2Fcdot dgamma2 = integralc^d F(gamma2(u)) cdot gamma2'(u),du
Mas
gamma2'(u) = ddugamma1(g(u)) = gamma1'(g(u)),g'(u)
Então a integral vira
integralc^d F(gamma1(g(u))) cdot l(gamma1'(g(u)),g'(u)r),du

Passo 4

Para finalizar, fazemos a mudança de variável t = g(u). Observe que, como g' < 0, quando u vai de c a d, t vai de g(c)=b a g(d)=a. Logo
integralc^d F(gamma1(g(u))) cdot gamma1'(g(u)),g'(u),du = integralt=b^t=a F(gamma1(t)) cdot gamma1'(t),dt = -integralt=a^t=b F(gamma1(t)) cdot gamma1'(t),dt
Mas o último termo é justamente -integralgamma1Fcdot dgamma1.

Passo 5

Portanto concluímos que
integralgamma2 Fcdot dgamma2 = -integralgamma1 Fcdot dgamma1
Ou, rearranjando, a propriedade desejada.

Resposta

integralgamma1Fcdot dgamma1 = -integralgamma2Fcdot dgamma2.

Exercícios relacionados