Sejam
um campo vetorial contínuo no aberto
e
duas curvas de classe
. Mostre que se
é obtida de
por uma mudança de parâmetro que reverte a orientação (isto é, se
, com
de classe
e
, para todo
), então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se a curva γ₂ é obtida de γ₁ por uma mudança de parâmetro u↦t=g(u) que inverte a orientação (com g′(u)<0), então a integral de linha satisfaz
O conteúdo envolvido é a definição de integral de linha de campo vetorial e a regra de mudança de variável em integrais.
Passo 2
Para começar, lembramos que a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva parametrizada
é dada por
Isso segue da ideia de somar produtos escalares de
com o elemento de arco
.
Passo 3
Agora, como
com
de classe
e
, podemos escrever
Mas
Então a integral vira
Passo 4
Para finalizar, fazemos a mudança de variável
. Observe que, como
, quando
vai de
a
,
vai de
a
. Logo
Mas o último termo é justamente
.
Passo 5
Portanto concluímos que
Ou, rearranjando, a propriedade desejada.