Nos Problemas 29-38, ache a solução geral do sistema dado.
d xd t=3 x-y-z
d yd t=4 x
d zd t=x-y+z

Passo 1

Temos o sistema de EDOs lineares de primeira ordem:
dxdt=3x-y-z, dydt=4x, dzdt=x-y+z
O conteúdo aqui é sistemas lineares homogêneos e vamos usar o método de autovalores e autovetores.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma vetorial x' =Ax, onde
$$A= A=3 & -1 & -14 & 0 & 01 & -1 & 1, x=xyz ,\quad \mathbf{x}= .
$$

Passo 3

Calculamos o polinômio característico p(lambda)=det(A-lambda I). Fazendo o determinante, obtemos
$$p(\lambda)=\lambda3-4\lambda2+8\lambda-8=0.
$$

Passo 4

Fatorando, vemos que lambda=2 é raiz e o quociente é lambda^2-2lambda+4=0, cujas raízes são lambda=1pm iraiz3.

Passo 5

Para lambda1=2, resolvemos (A-2I)v=0. Isso dá o autovetor real
$$v^{(1)}= v^(1)=12-1 .
$$

Passo 6

Para lambda2,3=1pm iraiz3, achamos um autovetor complexo, digamos v=a+i b. Extraindo as partes real e imaginária, obtemos
$$a= a=111, b=0-raiz30 ,\quad b= .
$$

Passo 7

Assim, três soluções fundamentais reais são:
$$e^{2t} e^2t12-1, e^tl(acos(raiz3t)-bsin(raiz3t)r), e^tl(asin(raiz3t)+bcos(raiz3t)r) ,\quad e^{t}\bigl(a\cos(\sqrt3t)-b\sin(\sqrt3t)\bigr),\quad e^{t}\bigl(a\sin(\sqrt3t)+b\cos(\sqrt3t)\bigr).
$$
A solução geral é combinação linear dessas três soluções independentes.

Resposta

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