Nos Problemas 29-38, ache a solução geral do sistema dado.
Passo 1
Temos o sistema de EDOs lineares de primeira ordem:
O conteúdo aqui é sistemas lineares homogêneos e vamos usar o método de autovalores e autovetores.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma vetorial
, onde
$$A=
,\quad \mathbf{x}=
.
$$
Passo 3
Calculamos o polinômio característico
p(lambda)=det(A-lambda I) . Fazendo o determinante, obtemos
$$p(\lambda)=\lambda3-4\lambda2+8\lambda-8=0.
$$
Passo 4
Fatorando, vemos que
lambda=2 é raiz e o quociente é
lambda^2-2lambda+4=0 , cujas raízes são
lambda=1pm iraiz3 .
Passo 5
Para
lambda1=2 , resolvemos
(A-2I)v=0 . Isso dá o autovetor real
$$v^{(1)}=
v^(1)=12-1 .
$$
Passo 6
Para
lambda2,3=1pm iraiz3 , achamos um autovetor complexo, digamos
v=a+i b . Extraindo as partes real e imaginária, obtemos
$$a=
a=111, b=0-raiz30 ,\quad b=
.
$$
Passo 7
Assim, três soluções fundamentais reais são:
$$e^{2t}
e^2t12-1, e^tl(acos(raiz3t)-bsin(raiz3t)r), e^tl(asin(raiz3t)+bcos(raiz3t)r) ,\quad e^{t}\bigl(a\cos(\sqrt3t)-b\sin(\sqrt3t)\bigr),\quad e^{t}\bigl(a\sin(\sqrt3t)+b\cos(\sqrt3t)\bigr).
$$
A solução geral é combinação linear dessas três soluções independentes.
A solução geral é combinação linear dessas três soluções independentes.