Calcule
em cada um dos ítens abaixo.
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o rotacional (ou
) de um campo vetorial. No caso, o campo vetorial é
. Para isso, vamos precisar entender o que é o rotacional e como calculá-lo usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por
ou
, mede a tendência do campo vetorial de “girar” ao redor de um ponto. É uma ferramenta importante no cálculo vetorial e tem aplicações em física, como no estudo de campos magnéticos e fluxos de fluidos.
Passo 3
Para calcular o rotacional de
, vamos utilizar a fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas:
Aqui,
, então no nosso caso,
,
e
.
Passo 4
Vamos calcular cada componente do rotacional passo a passo:
-
Componente
: -
Componente
: -
Componente
:
Passo 5
Agora, juntando todas as componentes que calculamos, o rotacional de
fica:
Resposta
O rotacional de
é
.