Calcule rot F em cada um dos ítens abaixo.
(d) F(x, y, z)=(x^2+y^2) i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o rotacional (ou rot) de um campo vetorial. No caso, o campo vetorial é F(x, y, z) = (x^2 + y^2) i. Para isso, vamos precisar entender o que é o rotacional e como calculá-lo usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por rot F ou nabla times F, mede a tendência do campo vetorial de “girar” ao redor de um ponto. É uma ferramenta importante no cálculo vetorial e tem aplicações em física, como no estudo de campos magnéticos e fluxos de fluidos.

Passo 3

Para calcular o rotacional de F(x, y, z) = (x^2 + y^2) i, vamos utilizar a fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas:
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z ) i + ( partial F1partial z - partial F3partial x ) j + ( partial F2partial x - partial F1partial y ) k
Aqui, F = (F1, F2, F3), então no nosso caso, F1 = x^2 + y^2, F2 = 0 e F3 = 0.

Passo 4

Vamos calcular cada componente do rotacional passo a passo:
  1. Componente i:
    partial F3partial y - partial F2partial z = partial 0partial y - partial 0partial z = 0 - 0 = 0
  2. Componente j:
    partial F1partial z - partial F3partial x = partial (x^2 + y^2)partial z - partial 0partial x = 0 - 0 = 0
  3. Componente k:
    partial F2partial x - partial F1partial y = partial 0partial x - partial (x^2 + y^2)partial y = 0 - (2y) = -2y

Passo 5

Agora, juntando todas as componentes que calculamos, o rotacional de F fica:
nabla times F = 0, i + 0, j - 2y, k = -2y, k

Resposta

O rotacional de F é nabla times F = -2y, k.

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