Sejam f e g duas funções reais, diferenciáveis em R. Seus gráficos se intersectam perpendicularmente em 1,3. Se f(x) = 4x - 1, qual a equação da reta tangente ao gráfico de g em 1,3 ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema tá pedindo. Temos duas funções reais, e , que são diferenciáveis em todos os números reais ( ). Os gráficos dessas funções se cruzam perpendicularmente no ponto . Sabemos que . A missão aqui é encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de nesse ponto .
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas (que nos dão a inclinação das tangentes) e sobre como duas retas serem perpendiculares estão relacionadas pelas suas inclinações.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a inclinação da reta . Essa função é uma reta do tipo , onde é a inclinação. Aqui, . Então, a inclinação da tangente à em qualquer ponto é .

Passo 3

Como os gráficos de e se cruzam perpendicularmente em , as inclinações das tangentes nessas funções nesse ponto devem satisfazer a condição de perpendicularidade. Isso significa que o produto das inclinações é igual a .
Matematicamente, se é a inclinação de e a de , então:

Passo 4

Já sabemos que . Vamos substituir na equação:
Agora, resolvendo para :
Então, a inclinação da reta tangente a no ponto é .

Passo 5

Agora, queremos a equação da reta tangente a em . Sabemos a inclinação e um ponto pelo qual a reta passa, que é .
Vamos usar a forma da equação da reta:
Onde é o ponto dado e é a inclinação.
Substituindo:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação para deixá-la na forma :
Distribuindo o :
Agora, somando 3 (ou ) aos dois lados:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de em é:

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